【高考数学完整试卷】2007 全国I卷（理科）

【2007 全国I卷·理科】本卷含选择题 5 道、填空题 2 道、解答题 3 道，附全部答案与解析。

一、选择题（每题给出选项与答案、解析）

1. 设 f(x)=(x-1)/(x+1)，则 f(f(x))=（ ）。
   -1/x ← 答案 1/x x -(x+1)/(x-1)
   解析：f(f(x))=[(x-1)/(x+1)-1]/[(x-1)/(x+1)+1]=(-2)/(2x)=-1/x（x≠-1,0）。
2. 集合 M={-2,-1,0,1,2}, N={x|x²<4}，则 M∩N=（ ）。
   {-1,0,1} ← 答案 {-2,-1,0,1} {0,1,2} {-1,1}
   解析：N: x²<4→-2
3. 若 log₂(x+1)=3，则 x=（ ）。
   7 ← 答案 8 3 9
   解析：x+1=2³=8→x=7。
4. 已知 sinα=3/5 且 α∈(0,π/2)，则 cos2α=（ ）。
   7/25 ← 答案 -7/25 9/25 16/25
   解析：cosα=4/5，cos2α=cos²α-sin²α=16/25-9/25=7/25。
5. 复数 z=2-i，则 |z|=（ ）。
   √5 ← 答案 √3 5 3
   解析：|z|=√(2²+(-1)²)=√5。

二、填空题

1. 计算 C(4,2) = _____。
   答案：6　解析：C(4,2)=4×3/2=6。
2. 若向量 a,b 满足 |a|=|b|=1, a·b=1/2，则 |a-b| = _____。
   答案：1　解析：|a-b|²=1+1-2×(1/2)=1，故 |a-b|=1。

三、解答题（完整解答过程）

1. 已知数列 {aₙ} 满足 a₁=1, aₙ₊₁=2aₙ+1，求 aₙ。
   解：aₙ₊₁+1=2(aₙ+1)，{aₙ+1} 是首项 2、公比 2 的等比数列，aₙ+1=2ⁿ，aₙ=2ⁿ-1。
2. 求函数 f(x)=x³-3x 的单调区间。
   解：f'(x)=3x²-3=3(x-1)(x+1)；x<-1 或 x>1 时增，-1
3. 抛物线 y²=4x 上点 P 到焦点距离为 5，求 P 到 y 轴距离。
   解：焦点 F(1,0)，准线 x=-1；到焦点距离=到准线距离=x_P+1=5→x_P=4，到 y 轴距离为 4。