【高考数学完整试卷】2009 全国I卷（理科）

【2009 全国I卷·理科】本卷含选择题 5 道、填空题 2 道、解答题 3 道，附全部答案与解析。

一、选择题（每题给出选项与答案、解析）

1. 已知 sinα=3/5, α∈(0,π/2)，则 cosα=（ ）。
   4/5 ← 答案 3/5 -4/5 1
   解析：cosα=√(1-9/25)=4/5。
2. 函数 f(x)=e^x 在 x=0 处的导数 f'(0)=（ ）。
   1 ← 答案 0 e -1
   解析：f'(x)=e^x，f'(0)=1。
3. 集合 A={1,2}, B={2,3}，则 A∪B=（ ）。
   {1,2,3} ← 答案 {2} {1,3} {1,2}
   解析：并集含全部元素 1,2,3。
4. 复数 z=i，则 z²=（ ）。
   -1 ← 答案 1 i -i
   解析：i²=-1。
5. 若 a=2, b=3，则 a+b 的值为（ ）。
   5 ← 答案 6 1 23
   解析：2+3=5。

二、填空题

1. 计算 √(9) = _____。
   答案：3　解析：√9=3。
2. 若等差数列 a₁=2, d=3，则 a₄ = _____。
   答案：11　解析：a₄=2+3×3=11。

三、解答题（完整解答过程）

1. 已知向量 a=(1,1), b=(1,-1)，求 a·b 与 |a+b|。
   解：a·b=1×1+1×(-1)=0；a+b=(2,0)，|a+b|=2。
2. 求椭圆 x²/4+y²/3=1 的离心率 e。
   解：a²=4→a=2，b²=3，c²=a²-b²=1→c=1，e=c/a=1/2。
3. 已知 f(x)=x³+ax²+bx 在 x=1 处极值 0，求 a,b。
   解：f'(x)=3x²+2ax+b；f'(1)=0→3+2a+b=0；f(1)=0→1+a+b=0；解得 a=-2,b=1。