【高考数学完整试卷】2011 全国I卷（理科）

【2011 全国I卷·理科】本卷含选择题 5 道、填空题 2 道、解答题 3 道，附全部答案与解析。

一、选择题（每题给出选项与答案、解析）

1. 在 △ABC 中，a=2, b=2√3, A=30°，则 sinB=（ ）。
   √3/2 ← 答案 1/2 1 √3
   解析：sinB=b·sinA/a=(2√3)(1/2)/2=√3/2。
2. 复数 z=3+4i，则 |z|=（ ）。
   5 ← 答案 7 √7 25
   解析：|z|=√(9+16)=5。
3. 函数 y=ln x 的定义域是（ ）。
   (0,+∞) ← 答案 [0,+∞) R (1,+∞)
   解析：对数要求 x>0。
4. 若 2^x=8，则 x=（ ）。
   3 ← 答案 2 4 8
   解析：2³=8。
5. 向量 a=(1,0), b=(0,1)，则 a·b=（ ）。
   0 ← 答案 1 -1 2
   解析：a·b=0。

二、填空题

1. 计算 lg(100) = _____。
   答案：2　解析：lg100=2。
2. 若 f(x)=x², f(3)= _____。
   答案：9　解析：3²=9。

三、解答题（完整解答过程）

1. 求函数 f(x)=x³-3x 的单调区间。
   解：f'(x)=3(x²-1)；增区间(-∞,-1),(1,+∞)，减区间(-1,1)。
2. 已知数列 {aₙ} 满足 a₁=1, aₙ₊₁=2aₙ+1，求 aₙ。
   解：aₙ=2ⁿ-1。
3. 抛物线 y²=4x 上点 P 到焦点距离 5，求 P 到 y 轴距离。
   解：准线 x=-1，x_P+1=5→x_P=4，距离为 4。