2005年上海（文科）

本卷为官方高考数学真题（2005年上海（文科）），共 22 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

填空题（每题 5 分）（共 12 题）

1. 1. 函数f(x) = log4(x + 1) 的反函数f −1(x) = . 5分
2. 2. 方程4x + 2x −2 = 0 的解是 . 5分
3. 3. 若x, y 满足条件 { x + y ⩽3, y ⩽2x, 则z = 3x + 4y 的最大值是 . 5分
4. 4. 直角坐标平面xOy 中, 若定点A(1, 2) 与动点P(x, y) 满足# » OP · # » OA = 4, 则点P 的轨迹方程是 . 5分
5. 5. 函数y = cos 2x + sin x cos x 的最小正周期T = . 5分
6. 6. 若cos α = 1 7, α ∈ ( 0, π 2 ) , 则cos ( α + π 3 ) = . 5分
7. 7. 若椭圆长轴长与短轴长之比为2, 它的一个焦点是 ( 2 √ 15, 0 ) , 则椭圆的标 准方程是 . 5分
8. 8. 某班有50 名学生, 其中15 人选修A 课程, 另外35 人选修B 课程. 从班 级中任选两名学生, 他们是选修不同课程的学生的概率是 . (结果用 分数表示) 5分
9. 9. 直线y = 1 2x 关于直线x = 1 对称的直线方程是 . 5分
10. 10. 在△ABC 中, 若A = 120◦, AB = 5, BC = 7, 则AC = . 5分
11. 11. 函数f(x) = sin x + 2| sin x|, x ∈[0, 2π] 的图象与直线y = k 有且仅有两 个不同的交点, 则k 的取值范围是 . 5分
12. 12. 有两个相同的直三棱柱, 高为2 a, 底面三角形的三边长分别为3a, 4a, 5a (a > 0). 用它们拼成一个三棱柱或四棱柱, 在所有可能的情形中, 全 面积最小的是一个四棱柱, 则a 的取值范围是 . 3a 4a 5a 2 a 3a 4a 5a 2 a 5分

选择题（每题 5 分）（共 4 题）

1. 1. 若函数f(x) = 1 2x + 1, 则该函数在(−∞, +∞) 上是 ( ) 5分
   A. 单调递减无最小值 B. 单调递减有最小值 C. 单调递增无最大值 D. 单调递增有最大值
2. 2. 已知集合M = {x | |x −1| ⩽2, x ∈R}, P = { x  5 x + 1 ⩾1, x ∈Z } , 则M ∩P 等于 ( ) 5分
   A. {x | 0 < x ⩽3, x ∈Z} B. {x | 0 ⩽x ⩽3, x ∈Z} C. {x | −1 ⩽x ⩽0, x ∈Z} D. {x | −1 ⩽x < 0, x ∈Z}
3. 3. 条件甲: “a > 1”是条件乙: “a > √a”的 ( ) 5分
   A. 既不充分也不必要条件 B. 充要条件 C. 充分不必要条件 D. 必要不充分条件
4. 4. 用n 个不同的实数a1, a2, · · · , an 可得到n! 个不同的排列, 每个 排列为一行写成一个n! 行的数阵. 对第i 行ai1, ai2, · · · , ain, 记 bi = −ai1 + 2ai2 −3ai3 + · · · + (−1)nnain, i = 1, 2, 3, · · · , n!. 例如: 用1, 2, 3 可得数阵如图, 由于此数阵中每一列各数之和都是12, 所以, b1 + b2 + · · · + b6 = −12 + 2 × 12 −3 × 12 = −24, 那么, 在用1, 2, 3, 4, 5 形成的数阵中, b1 + b2 + · · · + b120 = ( ) 1 2 3 1 3 2 2 1 3 2 3 1 3 1 2 3 2 1 5分
   A. −3600 B. 1800 C. −1080 D. −720

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 已知长方体ABCD −A1B1C1D1 中, M、N 分别是BB1 和BC 的中点, AB = 4, AD = 2, B1D 与平面ABCD 所成角的大小为60◦, 求异面直线 B1D 与MN 所成角的大小. (结果用反三角函数值表示) A B C N D A1 B1 M C1 D1
2. 2. 在复数范围内解方程|z|2 + (z + z)i = 3 −i 2 + i. (i 为虚数单位)
3. 3. 已知函数f(x) = kx + b 的图象与x, y 轴分别相交于点A、B, # » AB = 2#»i + 2#»j (#»i , #»j 分别是与x, y 轴正半轴同方向的单位向量), 函数 g(x) = x2 −x −6. (1) 求k, b 的值; (2) 当x 满足f(x) > g(x) 时, 求函数g(x) + 1 f(x) 的最小值. 264
4. 4. 假设某市2004 年新建住房面积400 万平方米, 其中有250 万平方米是中 低价房. 预计在今后的若干年内, 该市每年新建住房面积平均比上一年增 长8%. 另外, 每年新建住房中, 中低价房的面积均比上一年增加50 万平 方米. 那么, 到哪一年底, (1) 该市历年所建中低价层的累计面积(以2004 年为累计的第一年) 将首 次不少于4750 万平方米? (2) 当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%?
5. 5. 已知抛物线y2 = 2px (p > 0) 的焦点为F, A 是抛物线上横坐标为4、且 位于x 轴上方的点, A 到抛物线准线的距离等于5. 过A 作AB 垂直于y 轴, 垂足为B, OB 的中点为M. (1) 求抛物线方程; (2) 过M 作MN ⊥FA, 垂足为N, 求点N 的坐标; (3) 以M 为圆心, MB 为半径作圆M, 当K(m, 0) 是x 轴上一动点时, 讨 论直线AK 与圆M 的位置关系. F x y M N O A B
6. 6. 对定义域是Df、Dg 的函数y = f(x)、y = g(x), 规定: 函数h(x) =        f(x)g(x), 当x ∈Df 且x ∈Dg, f(x), 当x ∈Df 且x /∈Dg, g(x), 当x /∈Df 且x ∈Dg. (1) 若函数f(x) = −2x + 3, x ⩾1 g(x) = x −2, x ∈R, 写出函数h(x) 的 解析式; (2) 求问题(1) 中函数h(x) 的最大值; (3) 若g(x) = f(x + α), 其中α 是常数, 且α ∈[0, π], 请设计一个定义域为 R 的函数y = f(x), 及一个α 的值, 使得h(x) = cos 4x, 并予以证明. 265

原卷配图（含真实几何/应用题图示）