2005年上海（理科）

本卷为官方高考数学真题（2005年上海（理科）），共 22 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

填空题（每题 5 分）（共 12 题）

1. 1. 函数f(x) = log4(x + 1) 的反函数f −1(x) = . 5分
2. 2. 方程4x + 2x −2 = 0 的解是 . 5分
3. 3. 直角坐标平面xOy 中, 若定点A(1, 2) 与动点P(x, y) 满足# » OP · # » OA = 4, 则点P 的轨迹方程是 . 5分
4. 4. 在(x −a)10 的展开式中, x7 的系数是15, 则实数a = . 5分
5. 5. 若双曲线的渐近线方程为y = ±3x, 它的一个焦点是 (√ 10, 0 ) , 则双曲线 的方程是 . 5分
6. 6. 将参数方程 { x = 1 + 2 cos θ, y = 2 sin θ, (θ 为参数) 化为普通方程, 所得方程 是 . 5分
7. 7. 计算: lim n→∞ 3n+1 −2n 3n + 2n−1 = . 5分
8. 8. 某班有50 名学生, 其中15 人选修A 课程, 另外35 人选修B 课程. 从班 级中任选两名学生, 他们是选修不同课程的学生的概率是 . (结果用 分数表示) 5分
9. 9. 在△ABC 中, 若A = 120◦, AB = 5, BC = 7, 则△ABC 的面积 S = . 5分
10. 10. 函数f(x) = sin x + 2| sin x|, x ∈[0, 2π] 的图象与直线y = k 有且仅有两 个不同的交点, 则k 的取值范围是 . 5分
11. 11. 有两个相同的直三棱柱, 高为2 a, 底面三角形的三边长分别为3a, 4a, 5a (a > 0). 用它们拼成一个三棱柱或四棱柱, 在所有可能的情形中, 全 面积最小的是一个四棱柱, 则a 的取值范围是 . 3a 4a 5a 2 a 3a 4a 5a 2 a 5分
12. 12. 用n 个不同的实数a1, a2, · · · , an 可得到n! 个不同的排列, 每个 排列为一行写成一个n! 行的数阵. 对第i 行ai1, ai2, · · · , ain, 记 bi = −ai1 + 2ai2 −3ai3 + · · · + (−1)nnain, i = 1, 2, 3, · · · , n!. 例如: 用1, 2, 3 可得数阵如图, 由于此数阵中每一列各数之和都是12, 所以, b1 + b2 + · · · + b6 = −12 + 2 × 12 −3 × 12 = −24, 那么, 在用1, 2, 3, 4, 5 形成的数阵中, b1 + b2 + · · · + b120 = . 1 2 3 1 3 2 2 1 3 2 3 1 3 1 2 3 2 1 5分

选择题（每题 5 分）（共 4 题）

1. 1. 若函数f(x) = 1 2x + 1, 则该函数在(−∞, +∞) 上是 ( ) 5分
   A. 单调递减无最小值 B. 单调递减有最小值 C. 单调递增无最大值 D. 单调递增有最大值
2. 2. 已知集合M = {x | |x −1| ⩽2, x ∈R}, P = { x  5 x + 1 ⩾1, x ∈Z } , 则M ∩P 等于 ( ) 5分
   A. {x | 0 < x ⩽3, x ∈Z} B. {x | 0 ⩽x ⩽3, x ∈Z} C. {x | −1 ⩽x ⩽0, x ∈Z} D. {x | −1 ⩽x < 0, x ∈Z}
3. 3. 过抛物线y2 = 4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B 两点, 它们的 横坐标之和等于5, 则这样的直线 ( ) 5分
   A. 有且仅有一条 B. 有且仅有两条 C. 有无穷多条 D. 不存在
4. 4. 设定义域为R 的函数f(x) = { |lg |x −1|| , x̸ = 1, 0, x = 1, 则关于x 的方程 ( ) 5分
   F. 2(x) + bf(x) + c = 0 有7 个不同实数解的充要条件是 A. b < 0 且c > 0 B. b > 0 且c < 0 C. b < 0 且c = 0 D. b ⩾0 且c = 0

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 如图, 已知直四棱柱ABCD −A1B1C1D1 中, AA1 = 2, 底面ABCD 是直 角梯形, ∠A 是直角, AB CD, AB = 4, AD = 2, DC = 1, 求异面直线 BC1 与DC 所成角的大小. (结果用反三角函数值表示) A B C D A1 B1 C1 D1
2. 2. 证明: 在复数范围内, 方程|z|2 + (1 −i)z −(1 + i)z = 5 −5i 2 + i (i 为虚数单 位) 无解.
3. 3. 如图, 点A、B 分别是椭圆x2 36 + y2 20 = 1 长轴的左、右端点, 点F 是椭圆 的右焦点, 点P 在椭圆上, 且位于x 轴上方, PA ⊥PF. (1) 求点P 的坐标; (2) 设M 是椭圆长轴AB 上的一点, M 到直线AP 的距离等于|MB|, 求 椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值. A B F M P x y O • 262
4. 4. 假设某市2004 年新建住房面积400 万平方米, 其中有250 万平方米是中 低价房. 预计在今后的若干年内, 该市每年新建住房面积平均比上一年增 长8%. 另外, 每年新建住房中, 中低价房的面积均比上一年增加50 万平 方米. 那么, 到哪一年底, (1) 该市历年所建中低价层的累计面积(以2004 年为累计的第一年) 将首 次不少于4750 万平方米? (2) 当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%?
5. 5. 对定义域是Df、Dg 的函数y = f(x)、y = g(x), 规定: 函数 h(x) =        f(x)g(x), 当x ∈Df 且x ∈Dg, f(x), 当x ∈Df 且x /∈Dg, g(x), 当x /∈Df 且x ∈Dg. (1) 若函数f(x) = 1 x −1, g(x) = x2, 写出函数h(x) 的解析式; (2) 求问题(1) 中函数h(x) 的值域; (3) 若g(x) = f(x + α), 其中α 是常数, 且α ∈[0, π], 请设计一个定义域 为R 的函数y = f(x), 及一个α 的值, 使得h(x) = cos 4x, 并予以证明.
6. 6. 在直角坐标平面中, 已知点P1 (1, 2), P2 (2, 22), P3 (3, 23), · · · , Pn (n, 2n), 其中n 是正整数, 对平面上任一点A0, 记A1 为A0 关于点P1 的对称点, A2 为A1 关于点P2 的对称点, · · · , An 为An−1 关于点Pn 的对称点. (1) 求向量# » A0A2 的坐标; (2) 当点A0 在曲线C 上移动时, 点A2 的轨迹是函数y = f(x) 的图象, 其 中f(x) 是以3 为周期的周期函数, 且当x ∈(0, 3] 时, f(x) = lg x. 求以曲 线C 为图象的函数在(1, 4] 上的解析式; (3) 对任意偶数n, 用n 表示向量# » A0An 的坐标. 263

原卷配图（含真实几何/应用题图示）