2005年全国1（文科）

本卷为官方高考数学真题（2005年全国1（文科）），共 22 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 12 题）

1. 1. 设I 为全集, S1、S2、S3 是I 的三个非空子集且S1 ∪S2 ∪S3 = I, 则下面 论断正确的是 ( ) 5分
   A. ∁IS1 ∩(S2 ∪S3) = ∅ B. S1 ⊆(∁IS2 ∩∁IS3) C. ∁IS1 ∩∁IS2 ∩∁IS3 = ∅ D. S1 ⊆(∁IS2 ∪∁IS3)
2. 2. 一个与球心距离为1 的平面截球所得的圆面面积为π, 则球的表面积为( ) √ 2π √ 2π 5分
   A. 8 B. 8π C. 4 D. 4π
3. 3. 函数f(x) = x3 + ax2 + 3x −9, 已知f(x) 在x = −3 时取得极值, 则 ( ) 5分
   A. = A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
4. 4. 如图, 在多面体ABCDEF 中, 已知ABCD 是边长为1 的正方形, 且 △ADE、△BCF 均为正三角形, EF AB, EF = 2, 则该多面体的体积 为 ( ) A B C D E F (A) √ 2 3 (B) √ 3 3 3 2 5分
   C. 4 D. 3
5. 5. 已知双曲线x2 a2 −y2 = 1 (a > 0) 的一条准线与抛物线y2 = −6x 的准线重 合, 则该双曲线的离心率为 ( ) (A) √ 3 2 2 (C) √ 6 2 √ 3 3 5分
   B. 3 D. 2
6. 6. 当0 < x < π 2 时, 函数f(x) = 1 + cos 2x + 8sin2x sin 2x 的最小值为 ( ) √ 3 √ 3 5分
   A. 2 B. 2 C. 4 D. 4
7. 7. y = √ 2x −x2 (1 ⩽x ⩽2) 的反函数是 ( ) √ 1 −x2 (−1 ⩽x ⩽1) √ 1 −x2 (0 ⩽x ⩽1) √ 1 −x2 (−1 ⩽x ⩽1) √ 1 −x2 (0 ⩽x ⩽1) 5分
   A. y = 1 + B. y = 1 + C. y = 1 − D. y = 1 −
8. 8. 设0 < a < 1, 函数f(x) = loga(a2x −2ax −2), 则使f(x) < 0 的x 取值 范围是 ( ) 5分
   A. f(x) B. (0, +∞) C. (−∞, loga3) D. (loga3, +∞)
9. 9. 在坐标平面上, 不等式组 { y ⩾x −1, y ⩽−3|x| + 1 所表示的平面区域的面积为( ) (A) √ 2 2 √ 2 2 5分
   B. 3 C. 3 D. 2
10. 10. 在△ABC 中, 已知tan A + B 2 = sin C, 给出以下四个论断: ①tan A · cot B = 1; ②0 < sin A + sin B ⩽ √ 2; ③sin2A + cos2B = 1; ④ cos2A + cos2B = sin2C. 其中正确的是 ( ) 5分
    A. ①③ B. ②④ C. ①④ D. ②③
11. 11. 点O 是三角形ABC 所在平面内的一点, 满足# » OA · # » OB = # » OB · # » OC = # » OC · # » OA, 则点O 是△ABC 的 ( ) 5分
    A. 三个内角的角平分线的交点 B. 三条边的垂直平分线的交点 C. 三条中线的交点 D. 三条高的交点
12. 12. 设直线l 过点(−2, 0), 且与圆x2 + y2 = 1 相切, 则l 的斜率是 ( ) 2 √ 3 3 √ 3 5分
    A. ±1 B. ±1 C. ± D. ±

填空题（每题 5 分）（共 4 题）

1. 1. 若正整数m 满足10m−1 < 2512 < 10m, 则m = . (lg 2 ≈0.3010) 5分
2. 2. ( x −1 x )8 的展开式中, 常数项为 . (用数字作答) 5分
3. 3. 从6 名男生和4 名女生中, 选出3 名代表, 要求至少包含1 名女生, 则不 同的选法有 种. 5分
4. 4. 在正方体ABCD −A′B′C′D′ 中, 过对角线BD′ 的一个平面交AA′ 于E, 交CC′ 于F, 则: ①四边形BFD′E 一定是平行四边形; ②四边形BFD′E 有可能是正方形; ③四边形BFD′E 在底面ABCD 内的投影一定是正方形; ④平面BFD′E 有可能垂直于平面BB′D. 以上结论正确的为 . (写出所有正确结论的编号) 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 设函数f(x) = sin(2π + φ) (−π < φ < 0), y = f(x) 图象的一条对称轴是 直线x = π 8 . (1) 求φ; (2) 求函数y = f(x) 的单调增区间; (3) 画出函数y = f(x) 在区间[0, π] 上的图象.
2. 2. 已知四棱锥P −ABCD 的底面为直角梯形, AB DC, ∠DAB = 90◦, PA ⊥底面ABCD, 且PA = AD = DE = 1 2AB = 1, M 是PB 的中点. (1) 证明: 面PAD ⊥面PCD; (2) 求AC 与PB 所成的角; (3) 求面AMC 与面BMC 所成二面角的大小. A B C P D M
3. 3. 已知二次函数f(x) 的二次项系数为a, 且不等式f(x) > −2x 的解集为 (1, 3). (1) 若方程f(x) + 6a = 0 有两个相等的根, 求f(x) 的解析式; (2) 若f(x) 的最大值为正数, 求a 的取值范围. 248
4. 4. 9 粒种子分种在甲、乙、丙3 个坑内, 每坑3 粒, 每粒种子发芽的概率为 0.5. 若一个坑内至少有1 粒种子发芽, 则这个坑不需要补种; 若一个坑内 的种子都没发芽, 则这个坑需要补种. (1) 求甲坑不需要补种的概率; (2) 求3 个坑中恰有1 个坑不需要补种的概率; (3) 求有坑需要补种的概率. (精确到0.001)
5. 5. 设正项等比数列{an} 的首项a1 = 1 2, 前n 项和为Sn, 且210S30 −(210 + 1)S20 + S10 = 0. (1) 求{an} 的通项; (2) 求{nSn} 的前n 项和Tn.
6. 6. 已知椭圆的中心为坐标原点O, 焦点在x 轴上, 斜率为1 且过椭圆右焦点 OA + # » OB 与#»a = (3, −1) 共线. (1) 求椭圆的离心率; (2) 设M 为椭圆上任意一点, 且# » OM = λ# » OA + λ# » OB (λ, µ ∈R), 证明 λ2 + µ2 为定值. 249

原卷配图（含真实几何/应用题图示）