本卷为官方高考数学真题（2005年全国1（理科）），共 22 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。
-
1. 复数
√
2 −i3
1 −
√
2i
=
(
)
√
2 −i
√
2 + i 5分
A. i
B. −i
C. 2
D. −2
-
2. 设I 为全集, S1、S2、S3 是I 的三个非空子集且S1 ∪S2 ∪S3 = I, 则下面
论断正确的是
(
) 5分
A. ∁IS1 ∩(S2 ∪S3) = ∅
B. S1 ⊆(∁IS2 ∩∁IS3)
C. ∁IS1 ∩∁IS2 ∩∁IS3 = ∅
D. S1 ⊆(∁IS2 ∪∁IS3)
-
3. 一个与球心距离为1 的平面截球所得的圆面面积为π, 则球的表面积为(
)
√
2π
√
2π 5分
A. 8
B. 8π
C. 4
D. 4π
-
4. 已知直线l 过点(−2, 0), 当直线l 与圆y = 1 −
√
1 −x2 (−1 ⩽x ⩽1) 有
两个交点时, 其斜率k 的取值范围是
(
)
√
2, 2
√
2) (B) (−
√
2,
√
2)
(C)
(√
2
4 ,
√
2
4
)
(D)
(
−1
8, 1
8
) 5分
A. (−2
-
5. 如图, 在多面体ABCDEF 中, 已知ABCD 是边长为1 的正方形, 且
△ADE、△BCF 均为正三角形, EF
AB, EF = 2, 则该多面体的体积
为
(
)
A
B
C
D
E
F
(A)
√
2
3
(B)
√
3
3
3
2 5分
C. 4
D. 3
-
6. 已知双曲线x2
a2 −y2 = 1 (a > 0) 的一条准线与抛物线y2 = −6x 的准线重
合, 则该双曲线的离心率为
(
)
(A)
√
3
2
2
(C)
√
6
2
√
3
3 5分
B. 3
D. 2
-
7. 当0 < x < π
2 时, 函数f(x) = 1 + cos 2x + 8sin2x
sin 2x
的最小值为
(
)
√
3
√
3 5分
A. 2
B. 2
C. 4
D. 4
-
8. 设b > 0, 二次函数y = ax2 + bx + a2 −1 的图象为下列之一:
x
1
−1
y
O
x
1
−1
y
O
x
y
O
x
y
O
则a 的值为
(
)
√
5
2
√
5
2 5分
A. 1
B. −1
C. −1 −
D. −1 +
-
9. 设0 < a < 1, 函数f(x) = loga(a2x −2ax −2), 则使f(x) < 0 的x 取值
范围是
(
) 5分
A. f(x)
B. (0, +∞)
C. (−∞, loga3)
D. (loga3, +∞)
-
10. 在坐标平面上, 不等式组
{
y ⩾x −1,
y ⩽−3|x| + 1
所表示的平面区域的面积为(
)
(A)
√
2
2
√
2
2 5分
B. 3
C. 3
D. 2
-
11. 在△ABC 中, 已知tan A + B
2
= sin C, 给出以下四个论断: ①tan A ·
cot B = 1; ②0 < sin A + sin B ⩽
√
2; ③sin2A + cos2B = 1; ④
cos2A + cos2B = sin2C. 其中正确的是
(
) 5分
A. ①③
B. ②④
C. ①④
D. ②③
-
12. 过三棱柱任意两个顶点的直线共15 条, 其中异面直线有
(
) 5分
A. 18 对
B. 24 对
C. 30 对
D. 36 对
-
1. 设函数f(x) = sin(2π + φ) (−π < φ < 0), y = f(x) 图象的一条对称轴是
直线x = π
8 .
(1) 求φ;
(2) 求函数y = f(x) 的单调增区间;
(3) 证明直线5x −2y + c = 0 与函数y = f(x) 的图象不相切.
-
2. 已知四棱锥P −ABCD 的底面为直角梯形, AB
DC, ∠DAB = 90◦,
PA ⊥底面ABCD, 且PA = AD = DE = 1
2AB = 1, M 是PB 的中点.
(1) 证明: 面PAD ⊥面PCD;
(2) 求AC 与PB 所成的角;
(3) 求面AMC 与面BMC 所成二面角的大小.
A
B
C
P
D
M
-
3. 设等比数列{an} 的公比为q, 前n 项和Sn > 0 (n = 1, 2, · · · ).
(1) 求q 的取值范围;
(2) 设bn = an+2 −3
2an+1, 记{bn} 的前n 项和为Tn, 试比较Sn 和Tn 的
大小.
246
-
4. 9 粒种子分种在3 个坑内, 每坑3 粒, 每粒种子发芽的概率为0.5, 若一个
坑内至少有1 粒种子发芽, 则这个坑不需要补种, 若一个坑里的种子都没
发芽, 则这个坑需要补种, 假定每个坑至多补种一次, 每补种1 个坑需10
元, 用ξ 表示补种费用, 写出ξ 的分布列并求ξ 的数学期望. (精确到0.01)
-
5. 已知椭圆的中心为坐标原点O, 焦点在x 轴上, 斜率为1 且过椭圆右焦点
OA + # »
OB 与#»a = (3, −1) 共线.
(1) 求椭圆的离心率;
(2) 设M 为椭圆上任意一点, 且# »
OM = λ# »
OA + λ# »
OB (λ, µ ∈R), 证明
λ2 + µ2 为定值.
-
6. (1) 设函数f(x) = xlog2x + (1 −x)log2(1 −x) (0 < x < 1), 求f(x) 的最
小值;
(2) 设正数p1, p2, p3, · · · , p2n 满足p1 + p2 + p3 + · · · + p2n = 1, 证明:
p1log2p1 + p2log2p2 + p3log2p3 + · · · + p2nlog2p2n ⩾−n.
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