2005年全国2（文科）

本卷为官方高考数学真题（2005年全国2（文科）），共 22 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 12 题）

1. 1. 函数f(x) = | sin x + cos x| 的最小正周期是 ( ) 4 2 5分
   A. π B. π C. π D. 2π
2. 2. 正方体ABCD −A1B1C1D1 中, P、Q、R 分别是AB、AD、B1C1 的中 点. 那么, 正方体的过P、Q、R 的截面图形是 ( ) 5分
   A. 三角形 B. 四边形 C. 五边形 D. 六边形
3. 3. 函数y = x2 −1 (x ⩽0) 的反函数是 ( ) 5分
   A. y = √x + 1 (x ⩾−1) B. y = −√x + 1 (x ⩾−1) C. y = √x + 1 (x ⩾0) D. y = −√x + 1 (x ⩾0)
4. 4. 已知函数y = tan ωx 在 ( −π 2 , π 2 ) 内是减函数, 则 ( ) 5分
   A. 0 < ω ⩽1 B. −1 ⩽ω < 0 C. ω ⩾1 D. ω ⩽−1
5. 5. 抛物线x2 = 4y 上一点A 的纵坐标为4, 则点A 与抛物线焦点的距离 为 ( ) 5分
   A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
6. 6. 双曲线x2 4 −y2 9 = 1 的渐近线方程是 ( ) 3x 9x 2x (D) √ 3 5分
   A. y = ±2 B. y = ±4 C. y = ±3
7. 7. 如果数列{an} 是等差数列, 则 ( ) 5分
   A. a1 + a8 < a4 + a5 B. a1 + a8 = a4 + a5 C. a1 + a8 > a4 + a5 D. a1a8 = a4a5
8. 8. (x − √ 2y) 10 的展开式中x6y4 项的系数是 ( ) 5分
   A. 840 B. −840 C. 210 D. −210
9. 9. 已知点A( √ 3, 1), B(0, 0), C( √ 3, 0). 设∠BAC 的平分线AE 与BC 相交 于E, 那么有# » BC = λ# » CE, 其中λ 等于 ( ) 2 3 5分
   A. 2 B. 1 C. −3 D. −1
10. 10. 已知集合M = {x | x2 −3x −28 ⩽0}, N = {x | x2 −x −6 > 0}, 则 M ∩N 为 ( ) 5分
    A. {x | −4 ⩽x < −2 或3 < x ⩽7} B. {x | −4 < x ⩽−2 或3 ⩽x < 7} C. {x | x ⩽−2 或x > 3} D. {x | x < −2 或x ⩾3}
11. 11. 点P 在平面上作匀速直线运动, 速度向量v = (4, −3) (即点P 的运动方 向与v 相同, 且每秒移动的距离为|v| 个单位). 设开始时点P 的坐标为 (−10, 10), 则5 秒后点P 的坐标为 ( ) 5分
    A. (−2, 4) B. (−30, 25) C. (10, −5) D. (5, −10)
12. 12. △ABC 的顶点B 在平面α 内, A、C 在α 的同一侧, AB、BC 与α 所成 的角分别是30◦和45◦. 若AB = 3, BC = 4 √ 2, AC = 5, 则AC 与α 所 成的角为 ( ) 5分
    A. 60◦ B. 45◦ C. 30◦ D. 15◦

填空题（每题 5 分）（共 4 题）

1. 1. 在8 3 和27 2 之间插入三个数, 使这五个数成等比数列, 则插入的三个数的 乘积为 . 5分
2. 2. 圆心为(1, 2) 且与直线5x −12y −7 = 0 相切的圆的方程为 . 5分
3. 3. 在由数字0, 1, 2, 3, 4, 5 所组成的没有重复数字的四位数中, 不能被5 整 除的数共有 个. 5分
4. 4. 下面是关于三棱锥的四个命题: ①底面是等边三角形, 侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱 锥; ②底面是等边三角形, 侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥; ③底面是等边三角形, 侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥; ④侧棱与底面所成的角都相等, 且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱 锥是正三棱锥. 其中, 真命题的编号是 . (写出所有真命题的编号) 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 已知α 为第二象限的角, sin α = 3 5, β 为第一象限的角, cos β = 5 13, 求 tan(2α −β) 的值.
2. 2. 甲、乙两队进行一场排球比赛, 根据以往经验, 单局比赛甲队胜乙队的概率 为0.6, 本场比赛采用五局三胜制, 即先胜三局的队获胜, 比赛结束, 设各局 比赛相互间没有影响, 求: (1) 前三局比赛甲队领先的概率; (2) 本场比赛乙队以3 : 2 取胜的概率. (精确到0.001)
3. 3. 已知{an} 是各项均为正数的等差数列, lg a1、lg a2、lg a4 成等差数列. 又 bn = 1 a2n , n = 1, 2, 3, · · · . (1) 证明{bn} 为等比数列; (2) 如果数列{bn} 前3 项的和等于7 24, 求数列{an} 的首项a1 和公差d. 252
4. 4. 如图, 四棱锥P −ABCD 中, 底面ABCD 为矩形, PD ⊥底面ABCD, AD = PD, E、F 分别为CD、PB 的中点. (1) 求证: EF ⊥平面PAB; (2) 设AB = √ 2BC, 求AC 与平面AEF 所成的角的大小. A B C P D E F
5. 5. 设a 为实数, 函数f(x) = x3 −x2 −x + a. (1) 求f(x) 的极值; (2) 当a 在什么范围内取值时, 曲线y = f(x) 与x 轴仅有一个交点.
6. 6. P、Q、M、N 四点都在椭圆x2 + y2 2 = 1 上, F 为椭圆在y 轴正半轴上 的焦点. 已知# » PF 与# » FQ 共线, # » MF 与# » FN 共线, 且# » PF · # » MF = 0. 求四 边形PMQN 的面积的最小值和最大值. 253

原卷配图（含真实几何/应用题图示）