2005年全国2（理科）

本卷为官方高考数学真题（2005年全国2（理科）），共 22 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 12 题）

1. 1. 函数f(x) = | sin x + cos x| 的最小正周期是 ( ) 4 2 5分
   A. π B. π C. π D. 2π
2. 2. 正方体ABCD −A1B1C1D1 中, P、Q、R 分别是AB、AD、B1C1 的中 点. 那么, 正方体的过P、Q、R 的截面图形是 ( ) 5分
   A. 三角形 B. 四边形 C. 五边形 D. 六边形
3. 3. 函数y = 3√ x2 −1 (x ⩽0) 的反函数是 ( ) √ (x + 1)3 (x ⩾−1) √ (x + 1)3 (x ⩾−1) √ (x + 1)3 (x ⩾0) √ (x + 1)3 (x ⩾0) 5分
   A. y = B. y = − C. y = D. y = −
4. 4. 已知函数y = tan ωx 在 ( −π 2 , π 2 ) 内是减函数, 则 ( ) 5分
   A. 0 < ω ⩽1 B. −1 ⩽ω < 0 C. ω ⩾1 D. ω ⩽−1
5. 5. 设a、b、c、d ∈R, 若a + bi ( ) 5分
   C. + di 为实数, 则 A. bc + ad̸ = 0 B. bc −ad̸ = 0 C. bc −ad = 0 D. bc + ad = 0
6. 6. 已知双曲线x2 6 −y2 3 = 1 的焦点为F1、F2, 点M 在双曲线上且MF1 ⊥x 轴, 则F1 到直线F2M 的距离为 ( ) √ 6 5 √ 6 6 5 6 5分
   A. 3 B. 5 C. 6 D. 5
7. 7. 锐角三角形的内角A、B 满足tan A − 1 sin 2A = tan B, 则有 ( ) 5分
   A. sin 2A −cos B = 0 B. sin 2A + cos B = 0 C. sin 2A −sin B = 0 D. sin 2A + sin B = 0
8. 8. 已知点A( √ 3, 1), B(0, 0), C( √ 3, 0). 设∠BAC 的平分线AE 与BC 相交 于E, 那么有# » BC = λ# » CE, 其中λ 等于 ( ) 2 3 5分
   A. 2 B. 1 C. −3 D. −1
9. 9. 已知集合M = {x | x2 −3x −28 ⩽0}, N = {x | x2 −x −6 > 0}, 则 M ∩N 为 ( ) 5分
   A. {x | −4 ⩽x < −2 或3 < x ⩽7} B. {x | −4 < x ⩽−2 或3 ⩽x < 7} C. {x | x ⩽−2 或x > 3} D. {x | x < −2 或x ⩾3}
10. 10. 点P 在平面上作匀速直线运动, 速度向量v = (4, −3) (即点P 的运动方 向与v 相同, 且每秒移动的距离为|v| 个单位). 设开始时点P 的坐标为 (−10, 10), 则5 秒后点P 的坐标为 ( ) 5分
    A. (−2, 4) B. (−30, 25) C. (10, −5) D. (5, −10)
11. 11. 如果a1, a2, · · · , a8 为各项都大于零的等差数列, 公差d̸ = 0, 则 ( ) 5分
    A. a1a8 > a4a5 B. a1a8 < a4a5 C. a1 + a8 > a4 + a5 D. a1a8 = a4a5
12. 12. 将半径都为1 的4 个铅球完全装入形状为正四面体的容器里, 这个正四面 体的高最小值为 ( ) (A) √ 3 + 2 √ 6 3 √ 6 3 √ 6 3 √ 3 + 2 √ 6 3 5分
    B. 2 + 2 C. 4 + 2 D. 4

填空题（每题 5 分）（共 4 题）

1. 1. 圆心为(1, 2) 且与直线5x −12y −7 = 0 相切的圆的方程为 . 5分
2. 2. 设α 为第四象限的角, 若sin 3α sin α = 13 5 , 则tan 2α = . 5分
3. 3. 在由数字0, 1, 2, 3, 4, 5 所组成的没有重复数字的四位数中, 不能被5 整 除的数共有 个. 5分
4. 4. 下面是关于三棱锥的四个命题: ①底面是等边三角形, 侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱 锥; ②底面是等边三角形, 侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥; ③底面是等边三角形, 侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥; ④侧棱与底面所成的角都相等, 且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱 锥是正三棱锥. 其中, 真命题的编号是 . (写出所有真命题的编号) 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 设函数f(x) = 2|x+1|−|x−1|, 求使f(x) ⩾2 √ 2 的x 的取值范围.
2. 2. 已知{an} 是各项均为正数的等差数列, lg a1、lg a2、lg a4 成等差数列. 又 bn = 1 a2n , n = 1, 2, 3, · · · . (1) 证明{bn} 为等比数列; (2) 如果无穷等比数列{bn} 各项的和S = 1 3, 求数列{an} 的首项a1 和公 差d. 注: 无穷数列各项的和即当n →∞时数列前n 项和的极限.
3. 3. 甲、乙两队进行一场排球比赛. 根据以往经验, 单局比赛甲队胜乙队的概率 为0.6. 本场比赛采用五局三胜制, 即先胜三局的队获胜, 比赛结束. 设各 局比赛相互间没有影响. 令ξ 为本场比赛的局数, 求ξ 的概率分布和数学 期望. (精确到0.0001) 250
4. 4. 如图, 四棱锥P −ABCD 中, 底面ABCD 为矩形, PD ⊥底面ABCD, AD = PD, E、F 分别为CD、PB 的中点. (1) 求证: EF ⊥平面PAB; (2) 设AB = √ 2BC, 求AC 与平面AEF 所成的角的大小. A B C P D E F
5. 5. P、Q、M、N 四点都在椭圆x2 + y2 2 = 1 上, F 为椭圆在y 轴正半轴上 的焦点. 已知# » PF 与# » FQ 共线, # » MF 与# » FN 共线, 且# » PF · # » MF = 0. 求四 边形PMQN 的面积的最小值和最大值.
6. 6. 已知a ⩾0, 函数f(x) = (x2 −2ax)ex. (1) 当x 为何值时, f(x) 取得最小值? 证明你的结论; (2) 设f(x) 在[−1, 1] 上是单调函数, 求a 的取值范围. 251

原卷配图（含真实几何/应用题图示）