2005年全国3（理科）

本卷为官方高考数学真题（2005年全国3（理科）），共 22 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 12 题）

1. 1. 已知α 为第三象限角, 则α 2 所在的象限是 ( ) 5分
   A. 第一或第二象限 B. 第二或第三象限 C. 第一或第三象限 D. 第二或第四象限
2. 2. 已知过点A(−2, m) 和B(m, 4) 的直线与直线2x + y −1 = 0 平行, 则m 的值为 ( ) 5分
   A. 0 B. −8 C. 2 D. 10
3. 3. 在(x −1)(x + 1)8 的展开式中x5 的系数是 ( ) 5分
   A. −14 B. 14 C. −28 D. 28
4. 4. 设三棱柱ABC −A1B1C1 的体积为V , P、Q 分别是侧棱AA1、CC1 上 的点, 且PA = QC1, 则四棱锥B −APQC 的体积为 ( ) 6V 4V 3V 2V 5分
   A. 1 B. 1 C. 1 D. 1
5. 5. lim x→1 ( 1 x2 −3x + 2 − 2 x2 −4x + 3 ) = ( ) 2 2 6 6 5分
   A. −1 B. 1 C. −1 D. 1
6. 6. 若a = ln 2 2 , b = ln 3 3 , c = ln 5 5 , 则 ( ) 5分
   A. a < b < c B. c < b < a C. c < a < b D. b < a < c
7. 7. 设0 ⩽x ⩽2π, 且√1 −sin 2x = sin x −cos x, 则 ( ) 4 ⩽x ⩽7π 4 4 ⩽x ⩽5π 4 2 ⩽x ⩽3π 2 5分
   A. 0 ⩽x ⩽π B. π C. π D. π
8. 8. 2 sin 2α 1 + cos 2α · cos2α cos 2α = ( ) 2 5分
   A. tan α B. tan 2α C. 1 D. 1
9. 9. 已知双曲线x2−y2 2 = 1 的焦点为F1、F2, 点M 在双曲线上且# » MF1·# » MF2 = 0, 则点M 到x 轴的距离为 ( ) 3 3 √ 3 3 (D) √ 3 5分
   A. 4 B. 5 C. 2
10. 10. 设椭圆的两个焦点分别为F1、F2, 过F2 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P, 若△F1PF2 为等腰直角三角形, 则椭圆的离心率是 ( ) (A) √ 2 2 (B) √ 2 −1 2 √ 2 (D) √ 2 −1 5分
    C. 2 −
11. 11. 不共面的四个定点到平面α 的距离都相等, 这样的平面α 共有 ( ) 5分
    A. 3 个 B. 4 个 C. 6 个 D. 7 个
12. 12. 计算机中常用〸六进制是逢16 进1 的计数制, 采用数字0 ∼9 和字母 〸六进制 0 1 2 3 4 5 6 7 〸进制 0 1 2 3 4 5 6 7 〸六进制 8 9 A B C D E F 〸进制 8 9 10 11 12 13 14 15 例如, 用〸六进制表示: E + D = 1B, 则A × B = ( ) 5分
    A. ∼F 共16 个计数符号, 这些符号与〸进制的数的对应关系如下表: A. 6E B. 72 C. 5F D. B0

填空题（每题 5 分）（共 4 题）

1. 1. 已知复数z0 = 3 + 2i, 复数z 满足z · z0 = 3z + z0, 则复数z = . 5分
2. 2. 已知向量# » OA = (k, 12), # » OB = (4, 5), # » OC = (−k, 10), 且A、B、C 三点共 线, 则k = . 5分
3. 3. 设l 为平面上过点(0, 1) 的直线, l 的斜率等可能地取−2 √ 2, − √ 3, − √ 5 2 , 0, √ 5 2 , √ 3, 2 √ 2, 用ξ 表示坐标原点到l 的距离, 则随机变量ξ 的数学期 望Eξ = . 5分
4. 4. 已知在△ABC 中, ∠ACB = 90◦, BC = 3, AC = 4, P 是AB 上的点, 则 点P 到AC、BC 的距离乘积的最大值是 . 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 设甲、乙、丙三台机器是否需要照顾相互之间没有影响. 已知在某一小时 内, 甲、乙都需要照顾的概率为0.05, 甲、丙都需要照顾的概率为0.1, 乙、 丙都需要照顾的概率为0.125, (1) 求甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别是多少; (2) 计算这个小时内至少有一台需要照顾的概率.
2. 2. 如图, 在四棱锥V −ABCD 中, 底面ABCD 是正方形, 侧面V AD 是正 三角形, 平面V AD ⊥底面ABCD. (1) 证明: AB ⊥平面V AD; (2) 求面V AD 与面V DB 所成的二面角的大小. A B C V D
3. 3. △ABC 中, 内角A, B, C 的对边分别为a, b, c, 已知a, b, c 成等比数列, cos B = 3 4. (1) 求cot A + cot C 的值; (2) 设# » BA · # » BC = 3 2, 求a + c 的值. 254
4. 4. 在等差数列{an} 中, 公差d̸ = 0, a2 是a1 与a4 的等差中项. 已知数列a1, a3, ak1, ak2, · · · , akn, · · · 成等比数列, 求数列{kn} 的通项kn.
5. 5. 设A(x1, y1), B(x2, y2) 两点在抛物线y = 2x2 上, l 是AB 的垂直平分线. (1) 当且仅当x1 + x2 取何值时, 直线l 经过抛物线的焦点F? 证明你的结 论; (2) 当直线l 的斜率为2 时, 求l 在y 轴上截距的取值范围.
6. 6. 已知函数f(x) = 4x2 −7 2 −x , x ∈[0, 1]. (1) 求f(x) 的单调区间和值域; (2) 设a ⩾1, 函数g(x) = x3 −3a2x−2a, x ∈[0, 1]. 若对于任意x1 ∈[0, 1], 总存在x0 ∈[0, 1], 使得g(x0) = f(x1) 成立, 求a 的取值范围. 255

原卷配图（含真实几何/应用题图示）