2005年北京（文科）

本卷为官方高考数学真题（2005年北京（文科）），共 20 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 8 题）

1. 1. 设合集U = R, 集合M = {x | x > 1}, P = {x | x2 > 1}, 则下列关系中正 确的是 ( ) 5分
   A. M = P B. P ⫋M C. M ⫋P D. M ∩P = R
2. 2. 为了得到函数y = 2x−3 −1 的图象, 只需把函数y = 2x 的图象上所有的 点 ( ) 5分
   A. 向右平移3 个单位长度, 再向下平移1 个单位长度 B. 向左平移3 个单位长度, 再向下平移1 个单位长度 C. 向右平移3 个单位长度, 再向上平移1 个单位长度 D. 向左平移3 个单位长度, 再向上平移1 个单位长度
3. 3. “m = 1 2”是“直线(m+2)x+3my+1 = 0 与直线(m−2)x+(m+2)y−3 = 0 相互垂直”的 ( ) 5分
   A. 充分必要条件 B. 充分而不必要条件 C. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 4. 若|#»a | = 1, #»b  = 2, #»c = #»a + #»b , 且#»c ⊥#»a , 则向量#»a 与#»b 的夹角为( ) 5分
   A. 30◦ B. 60◦ C. 120◦ D. 150◦
5. 5. 从原点向圆x2 + y2 −12y + 27 = 0 作两条切线, 则这两条切线的夹角的大 小为 ( ) 6 3 2 3 5分
   A. π B. π C. π D. 2π
6. 6. 对任意的锐角α, β, 下列不等关系中正确的是 ( ) 5分
   A. sin(α + β) > sin α + sin β B. sin(α + β) > cos α + cos β C. cos(α + β) < sin α + sin β D. cos(α + β) < cos α + cos β
7. 7. 在正四面体P −ABC 中, D, E, F 分别是AB, BC, CA 的中点, 下面四 个结论中不成立的是 ( ) 平面PDF 5分
   A. BC B. DF ⊥平面PAE C. 平面PDF ⊥平面ABC D. 平面PAE ⊥平面ABC
8. 8. 五个工程队承建某项工程的5 个不同的子项目, 每个工程队承建1 项, 其 中甲工程队不能承建1 号子项目, 则不同的承建方案共有 ( ) 4C4 4 种 4A4 4 种 4 种 4 种 5分
   A. C1 B. C1 C. C4 D. A4

填空题（每题 5 分）（共 6 题）

1. 1. 抛物线y2 = 4x 的准线方程是 , 焦点坐标是 . 5分
2. 2. ( x −1 x )6 的展开式中的常数项是 . (用数字作答) 5分
3. 3. 函数f(x) = √x + 1 + 1 2 −x 的定义域为 . 5分
4. 4. 在△ABC 中, AC = √ 3, ∠A = 45◦, ∠C = 75◦, 则BC 的长为 . 5分
5. 5. 对于函数f(x) 定义域中任意的x1, x2 (x1̸ = x2), 有如下结论: ①f(x1 + x2) = f(x1) · f(x2); ②f(x1 · x2) = f(x1) + f(x2); ③f (x1) −f(x2) x1 −x2 > 0; ④f (x1 + x2 2 ) < f(x1) + f(x2) 2 . 当f(x) = lg x 时, 上述结论中正确结论的序号是 . 5分
6. 6. 已知n 次多项式Pn(x) = a0xn + a1xn−1 + · · · + an−1x + an. 如果在一种算法中, 计算xk 0 (k = 2, 3, 4, · · · , n) 的值需要k −1 次乘法, 计算P3(x0) 的值共需要9 次运算(6 次乘法, 3 次加法), 那么计算P10(x0) 的值共需要 次运算. 下面给出一种减少运算次数的算法: P0(x) = a0, Pk+1(x) = xPk(x) + ak+1 (k = 0, 1, 2, · · · , n −1). 利用该算法, 计算P3(x0) 的值共需要6 次运算, 计算P10(x0) 的值共需要 次运算. 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 已知tan α 2 = 2, 求: (1) tan ( α + π 4 ) 的值; (2) 6 sin α + cos α 3 sin α −2 cos α 的值.
2. 2. 如图, 在直三棱柱ABC−A1B1C1 中, AC = 3, BC = 4, AB = 5, AA1 = 4, 点D 是AB 的中点. (1) 求证: AC ⊥BC1; (2) 求证: AC1 平面CDB1; (3) 求异面直线AC1 与B1C 所成角的余弦值. A B C D A1 B1 C1
3. 3. 数列{an} 的前n 项和为Sn, 且a1 = 1, an+1 = 1 3Sn, n = 1, 2, 3, · · · , 求: (1) a2, a3, a4 的值及数列{an} 的通项公式; (2) a2 + a4 + a6 + · · · + a2n 的值. 218
4. 4. 甲、乙两人各进行3 次射击, 甲每次击中目标的概率为1 2, 乙每次击中目 标的概率为2 3. (1) 甲恰好击中目标2 次的概率; (2) 乙至少击中目标2 次的概率; (3) 乙恰好比甲多击中目标2 次的概率.
5. 5. 已知函数f(x) = −x3 + 3x2 + 9x + a. (1) 求f(x) 的单调减区间; (2) 若f(x) 在区间[−2, 2] 上的最大值为20, 求它在该区间上的最小值.
6. 6. 如图, 直线l1: y = kx (k > 0) 与直线l2: y = −kx 之间的阴影区域(不含 边界) 记为W, 其左半部分记为W1, 右半部分记为W2. (1) 分别用不等式组表示W1 和W2; (2) 若区域W 中的动点P(x, y) 到l1, l2 的距离之积等于d2, 求点P 的轨 迹C 的方程; (3) 设不过原点O 的直线l 与(2) 中的曲线C 相交于M1, M2 两点, 且与 l1, l2 分别交于M3, M4 两点. 求证: △OM1M2 的重心与△OM3M4 的重 心重合. l1 l2 x W1 W2 y O 219

原卷配图（含真实几何/应用题图示）