2005年北京（理科）

本卷为官方高考数学真题（2005年北京（理科）），共 20 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 8 题）

1. 1. 设合集U = R, 集合M = {x | x > 1}, P = {x | x2 > 1}, 则下列关系中正 确的是 ( ) 5分
   A. M = P B. P ⫋M C. M ⫋P D. ∁UM ∩P = ∅
2. 2. “m = 1 2”是“直线(m+2)x+3my+1 = 0 与直线(m−2)x+(m+2)y−3 = 0 相互垂直”的 ( ) 5分
   A. 充分必要条件 B. 充分而不必要条件 C. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 3. 若|#»a | = 1, #»b  = 2, #»c = #»a + #»b , 且#»c ⊥#»a , 则向量#»a 与#»b 的夹角为( ) 5分
   A. 30◦ B. 60◦ C. 120◦ D. 150◦
4. 4. 从原点向圆x2 + y2 −12y + 27 = 0 作两条切线, 则该圆夹在两条切线间的 劣弧长为 ( ) 5分
   A. π B. 2π C. 4π D. 6π
5. 5. 对任意的锐角α, β, 下列不等关系中正确的是 ( ) 5分
   A. sin(α + β) > sin α + sin β B. sin(α + β) > cos α + cos β C. cos(α + β) < sin α + sin β D. cos(α + β) < cos α + cos β
6. 6. 在正四面体P −ABC 中, D, E, F 分别是AB, BC, CA 的中点, 下面四 个结论中不成立的是 ( ) 平面PDF 5分
   A. BC B. DF ⊥平面PAE C. 平面PDF ⊥平面ABC D. 平面PAE ⊥平面ABC
7. 7. 北京《财富》全球论坛期间, 某高校有14 名志愿者参加接待工作, 若每天 早、中、晚三班, 每班4 人, 每人每天最多值一班, 则开幕式当天不同的排 班种数为 ( ) 14C4 12C4 8 14A4 12A4 8 14C4 12C4 8 A3 3 14C4 12C4 8A3 3 5分
   A. C12 B. C12 C. C12 D. C12
8. 8. 函数f(x) = √1 −cos 2x cos x ( ) [ 0, π 2 ) , (π 2 , π ] 上递增, 在 [ π, 3π 2 ) , (3π 2 , 2π ] 上递减 [ 0, π 2 ) , ( π, 3π 2 ] 上递增, 在 [π 2 , π ) , (3π 2 , 2π ] 上递减 (π 2 , π ] , (3π 2 , 2π ] 上递增, 在 [ 0, π 2 ) , ( π, 3π 2 ] 上递减 [ 0, 3π 2 ) , (3π 2 , π ] 上递增, 在 [ 0, π 2 ) , (π 2 , 2π ] 上递减 5分
   A. 在 B. 在 C. 在 D. 在

填空题（每题 5 分）（共 6 题）

1. 1. 若z1 = a + 2i, z2 = 3 −4i, 且z1 z2 为纯虚数, 则实数a 的值为 . 5分
2. 2. 已知tan α 2 = 2, 则tan α 的值为 , tan ( α + π 4 ) 的值为 . 5分
3. 3. ( x −1 x )6 的展开式中的常数项是 . (用数字作答) 5分
4. 4. 过原点作曲线y = ex 的切线, 则切点的坐标为 , 切线的斜率 为 . 5分
5. 5. 对于函数f(x) 定义域中任意的x1, x2 (x1̸ = x2), 有如下结论: ①f(x1 + x2) = f(x1) · f(x2); ②f(x1 · x2) = f(x1) + f(x2); ③f (x1) −f(x2) x1 −x2 > 0; ④f (x1 + x2 2 ) < f(x1) + f(x2) 2 . 当f(x) = lg x 时, 上述结论中正确结论的序号是 . 5分
6. 6. 已知n 次多项式Pn(x) = a0xn + a1xn−1 + · · · + an−1x + an. 如果在一种算法中, 计算xk 0 (k = 2, 3, 4, · · · , n) 的值需要k −1 次乘法, 计算P3(x0) 的值共需要9 次运算(6 次乘法, 3 次加法), 那么计算P10(x0) 的值共需要 次运算. 下面给出一种减少运算次数的算法: P0(x) = a0, Pk+1(x) = xPk(x) + ak+1 (k = 0, 1, 2, · · · , n −1). 利用该算法, 计算P3(x0) 的值共需要6 次运算, 计算P10(x0) 的值共需要 次运算. 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 已知函数f(x) = −x3 + 3x2 + 9x + a. (1) 求f(x) 的单调减区间; (2) 若f(x) 在区间[−2, 2] 上的最大值为20, 求它在该区间上的最小值.
2. 2. 如图, 在直四棱柱ABCD −A1B1C1D1 中, AB = AD = 2, DC = 2 √ 3, AA1 = √ 3, AD ⊥DC, AC ⊥BD, 垂足为E. (1) 求证: BD ⊥A1C; (2) 求二面角A1 −BD −C1 的大小; (3) 求异面直线AD 与BC1 所成角的大小. A B C D E A1 B1 C1 D1
3. 3. 甲、乙两人各进行3 次射击, 甲每次击中目标的概率为1 2, 乙每次击中目标 的概率为2 3. (1) 记甲击中目标的次数为ξ, 求ξ 的概率分布及数学期望Eξ; (2) 求乙至多击中目标2 次的概率; (3) 求甲恰好比乙多击中目标2 次的概率. 216
4. 4. 如图, 直线l1: y = kx (k > 0) 与直线l2: y = −kx 之间的阴影区域(不含 边界) 记为W, 其左半部分记为W1, 右半部分记为W2. (1) 分别用不等式组表示W1 和W2; (2) 若区域W 中的动点P(x, y) 到l1, l2 的距离之积等于d2, 求点P 的轨 迹C 的方程; (3) 设不过原点O 的直线l 与(2) 中的曲线C 相交于M1, M2 两点, 且与 l1, l2 分别交于M3, M4 两点. 求证: △OM1M2 的重心与△OM3M4 的重 心重合. l1 l2 x W1 W2 y O
5. 5. 设数列{an} 的首项a1 = a̸ = 1 4, 且an+1 =      1 2an, n 为偶数, an + 1 4, n 为奇数. 记 bn = a2n−1 −1 4, n = 1, 2, 3, · · · . (1) 求a2, a3; (2) 判断数列{bn} 是否为等比数列, 并证明你的结论; (3) 求lim n→∞(b1 + b2 + · · · + bn).
6. 6. 设f(x) 是定义在[0, 1] 上的函数, 若存在x∗∈(0, 1), 使得f(x) 在[0, x∗] 上单调递增, 在[x∗, 1] 上单调递减, 则称f(x) 为[0, 1] 上的单峰函数, x∗ 为峰点, 包含峰点的区间为含峰区间. 对任意的[0, 1] 上的单峰函数f(x), 下面研究缩短其含峰区间长度的方法. (1) 证明: 对任意的x1, x2 ∈(0, 1), x1 < x2, f(x1) ⩾f(x2), 则(0, x2) 为 含峰区间; 若f(x1) ⩽f(x2), 则(x1, 1) 为含峰区间; (2) 对给定的r (0 < r < 0.5), 证明: 存在x1, x2 ∈(0, 1), 满足x2−x1 ⩾2r, 使得由(1) 所确定的含峰区间的长度不大于0.5 + r; (3) 选取x1, x2 ∈(0, 1), x1 < x2, 由(1) 可确定含峰区间为(0, x2) 或 (x1, 1), 在所得的含峰区间内选取x3, 由x3 与x1 或x3 与x2 类似地可确 定一个新的含峰区间, 在第一次确定的含峰区间为(0, x2) 的情况下, 试确 定x1, x2, x3 的值, 满足两两之差的绝地值不小于0.02, 且使得新的含峰区 间的长度缩短到0.34. 注: 区间长度等于区间的右端点与左端点之差. 217

原卷配图（含真实几何/应用题图示）