本卷为官方高考数学真题（2005年天津（文科）），共 23 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。
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1. 设集合A = {x | 0 ⩽x < 3 且x ∈N} 的真子集的个数是
(
) 5分
A. 16
B. 8
C. 7
D. 4
-
2. 已知log 1
2 b < log 1
2 a < log 1
2 c, 则
(
) 5分
A. 2b > 2a > 2c
B. 2a > 2b > 2c
C. 2c > 2b > 2a
D. 2c > 2a > 2b
-
3. 某人射击一次击中的概率为0.6, 经过3 次射击, 此人至少有两次击中目标
的概率为
(
)
125
125
125
125 5分
A. 81
B. 54
C. 36
D. 27
-
4. 将直线2x −y + λ = 0 沿x 轴向左平移1 个单位, 所得直线与圆
x2 + y2 + 2x −4y = 0 相切, 则实数λ 的值为 5分
A. −3 或7
B. −2 或8
C. 0 或10
D. 1 或11
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5. 设α, β, γ 为平面, m, n, l 为直线, 则m ⊥β 的一个充分条件是
(
) 5分
A. α ⊥β, α ∩β = l, m ⊥l
B. α ∩γ = m, α ⊥γ, β ⊥γ
C. α ⊥γ, β ⊥γ, m ⊥α
D. n ⊥α, n ⊥β, m ⊥α
-
6. 设双曲线以椭圆x2
25 + y2
9 = 1 长轴的两个端点为焦点, 其准线过椭圆的焦
点, 则双曲线的渐近线的斜率为
(
)
3
2
4 5分
A. ±2
B. ±4
C. ±1
D. ±3
-
7. 给出下列三个命题:
①若a ⩾b > −1, 则
a
1 + a ⩾
b
1 + b;
②若正整数m 和n 满足m ⩽n, 则
√
m(n −m) ⩽n
2 ;
③设P(x1, y1) 为圆O1: x2 + y2 = 9 上任一点, 圆O2 以Q(a, b) 为圆心
且半径为1. 当(a −x1)2 + (b −y1)2 = 1 时, 圆O1 与圆O2 相切.
其中假命题的个数为
(
) 5分
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
-
8. 函数y = A sin(ωx + φ)
(
ω > 0, |φ| < π
2 , x ∈R
)
的部分图象如图所示,
则函数表达式为
(
)
x
y
−4
4
O
−2
6
(π
8 x + π
4
)
(π
8 x −π
4
)
(π
8 x −π
4
)
(π
8 x + π
4
) 5分
A. y = −4 sin
B. y = 4 sin
C. y = −4 sin
D. y = 4 sin
-
9. 若函数f(x) = loga(2x2 + x) (a > 0, a̸ = 1) 在区间
(
0, 1
2
)
内恒有
f(x) > 0, 则f(x) 的单调递增区间为
(
)
(A)
(
−∞, −1
4
)
(B)
(
−1
4, +∞
)
(D)
(
−∞, −1
2
) 5分
C. (0, +∞)
-
10. 设f(x) 是定义在R 上以6 为周期的函数, f(x) 在(0, 3) 内单调递增, 且
y = f(x) 的图象关于直线x = 3 对称, 则下面正确的结论是
(
) 5分
A. f(1.5) < f(3.5) < f(6.5)
B. f(3.5) < f(1.5) < f(6.5)
C. f(6.5) < f(3.5) < f(1.5)
D. f(3.5) < f(6.5) < f(1.5)
-
1. 二项式
(
3√x −1
√x
)10
的展开式中常数项为
. (用数字作答) 5分
-
2. 已知|#»a | = 2,
#»b
= 4, #»a 与#»b 的夹角为π
3 , 以#»a , #»b 为邻边作平行四边
形, 则此平行四边形的两条对角线中较短的一条的长度为
. 5分
-
3. 如图, PA ⊥平面ABC, ∠ACB = 90◦且PA = AC = BC = a, 则异面直
线PB 与AC 所成角的正切值等于
.
A
P
B
C 5分
-
4. 在数列{an} 中, a1 = 1, a2 = 2, 且an+2 −an = 1 + (−1)n (n ∈N∗), 则
S10 =
. 5分
-
5. 在直角坐标系xOy 中, 已知点A(0, 1) 和点B(−3, 4), 若点C 在∠AOB
的平分线上且
# »
OC
= 2, 则# »
OC =
. 5分
-
6. 设函数f(x) = ln 1 + x
1 −x, 则函数g(x) = f
(x
2
)
+f
(1
x
)
的定义域为
. 5分
-
7. 在三角形的每条边上各取三个分点(如图). 以这9 个分点为顶点可画出若
干个三角形, 若从中任意抽取一个三角形, 则其三个顶点分别落在原三角
形的三条不同边上的概率为
. (用数字作答)
•
•
•
•
•
•
•
•
• 5分
-
1. 已知sin
(
α −π
4
)
= 7
√
2
10 , cos 2α = 7
25, 求sin α 及tan
(
α + π
3
)
.
-
2. 若公比为c 的等比数列{an} 的首项a1 = 1 且满足an = an−1 + an−2
2
(n =
3, 4, · · · ).
(1) 求c 的值;
(2) 求数列{nan} 的前n 项和Sn.
268
-
3. 如图, 在斜三棱柱ABC −A1B1C1 中, ∠A1AB = ∠A1AC, AB = AC,
A1A = A1B = a, 侧面B1BCC1 与底面ABC 所成的二面角为120◦, E、
(1) 求A1A 与底面ABC 所成的角;
(2) 证明A1E
平面B1FC;
(3) 求经过A1, A, B, C 四点的球的体积.
A
B
C
E
F
A1
B1
C1
-
4. 某人在一山坡P 处观看对面山项上的一座铁塔, 如图所示, 塔高BC = 80
(米), 塔所在的山高OB = 220 (米), OA = 200 (米), 图中所示的山坡可视
为直线l 且点P 在直线l 上, l 与水平地面的夹角为α, tan α = 1
2. 试问此
人距水平地面多高时, 观看塔的视角∠BPC 最大? (不计此人的身高)
l (山坡)
C
水平地面
O
P
α
A
B
-
5. 已知m ∈R, 设P: x1 和x2 是方程x2 −ax −2 = 0 的两个实根, 不等
式|m2 −5m −3| ⩾|x1 −x2| 对任意实数a ∈[−1, 1] 恒成立; Q: 函数
f(x) = x3 + mx2 +
(
m + 4
3
)
x + 6 在(−∞, +∞) 上有极值. 求使P 正确
且Q 正确的m 的取值范围.
-
6. 抛物线C 的方程为y = ax2 (a < 0), 过抛物线C 上一点P(x0, y0) (x0̸ = 0)
作斜率为k1, k2 的两条直线分别交抛物线C 于A(x1, y1), B(x2, y2) 两点
(P, A, B 三点互不相同), 且满足k2 + λk1 = 0 (λ̸ = 0, λ̸ = −1).
(1) 求抛物线C 的焦点坐标和准线方程;
(2) 设直线AB 上一点M, 满足# »
BM = λ# »
MA, 证明线段PM 的中点在y
轴上;
(3) 当λ = 1 时, 若点P 的坐标为(1, −1), 求∠PAB 为钝角时点A 的纵
坐标y1 的取值范围.
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