2005年天津（理科）

本卷为官方高考数学真题（2005年天津（理科）），共 22 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 10 题）

1. 1. 设集合A = {x | |4x −1| ⩾9, x ∈R}, B = { x  x x + 3 ⩾0, x ∈R } , 则 ( ) [ 0, 5 2 ] [5 2, +∞ ) [5 2, +∞ ) 5分
   A. ∩B = A. (−3, −2] B. (−3, −2] ∪ C. (−∞, −3] ∪ D. (−∞, −3) ∪
2. 2. 若复数a + 3i 1 + 2i (a ∈R, i 为虚数单位位) 是纯虚数, 则实数a 的值为 ( ) 5分
   A. −2 B. 4 C. −6 D. 6
3. 3. 给出下列三个命题: ①若a ⩾b > −1, 则 a 1 + a ⩾ b 1 + b; ②若正整数m 和n 满足m ⩽n, 则 √ m(n −m) ⩽n 2 ; ③设P(x1, y1) 为圆O1: x2 + y2 = 9 上任一点, 圆O2 以Q(a, b) 为圆心 且半径为1. 当(a −x1)2 + (b −y1)2 = 1 时, 圆O1 与圆O2 相切. 其中假命题的个数为 ( ) 5分
   A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
4. 4. 设α, β, γ 为平面, m, n, l 为直线, 则m ⊥β 的一个充分条件是 ( ) 5分
   A. α ⊥β, α ∩β = l, m ⊥l B. α ∩γ = m, α ⊥γ, β ⊥γ C. α ⊥γ, β ⊥γ, m ⊥α D. n ⊥α, n ⊥β, m ⊥α
5. 5. 设双曲线以椭圆x2 25 + y2 9 = 1 长轴的两个端点为焦点, 其准线过椭圆的焦 点, 则双曲线的渐近线的斜率为 ( ) 3 2 4 5分
   A. ±2 B. ±4 C. ±1 D. ±3
6. 6. 从集合{1, 2, 3, · · · , 11} 中任选两个元素作为椭圆方程x2 m2 + y2 n2 = 1 中 的m 和n, 则能组成落在矩形区域B = {(x, y) | |x| < 11 且|y| < 9} 内的 椭圆个数为 ( ) 5分
   A. 43 B. 72 C. 86 D. 90
7. 7. 某人射击一次击中的概率为0.6, 经过3 次射击, 此人至少有两次击中目标 的概率为 ( ) 125 125 125 125 5分
   A. 81 B. 54 C. 36 D. 27
8. 8. 要得到函数y = √ 2 cos x 的图象, 只需将函数y = √ 2 sin(2x + π 4 ) 的图象 上所有的点的 ( ) 2 倍(纵坐标不变), 再向左平行移动π 8 个单位 长度 2 倍(纵坐标不变), 再向右平行移动π 4 个单位 长度 4 个单位长 度 8 个单位长 度 5分
   A. 横坐标缩短到原来的1 B. 横坐标缩短到原来的1 C. 横坐标伸长到原来的2 倍(纵坐标不变), 再向左平行移动π D. 横坐标伸长到原来的2 倍(纵坐标不变), 再向右平行移动π
9. 9. 设f −1(x) 是函数f(x) = 1 2(ax −a−x) (a > 1) 的反函数, 则使f −1(x) > 1 成立的x 的取值范围为 ( ) (A) (a2 −1 2a , +∞ ) (B) ( −∞, a2 −1 2a ) (C) (a2 −1 2a , a ) 5分
   D. [a, +∞)
10. 10. 若函数f(x) = loga(x3 −ax) (a > 0, a̸ = 1) 在区间 ( −1 2, 0 ) 内单调递增, 则a 的取值范围是 ( ) (A) [1 4, 1 ) (B) [3 4, 1 ) (C) (9 4, +∞ ) (D) ( 1, 9 4 ) 5分

填空题（每题 5 分）（共 6 题）

1. 1. 设n ∈N∗, 则C1 n + C2 n6 + C3 n62 + · · · + Cn n6n−1 = . 5分
2. 2. 如图, PA ⊥平面ABC, ∠ACB = 90◦且PA = AC = BC = a, 则异面直 线PB 与AC 所成角的正切值等于 . A P B C 5分
3. 3. 在数列{an} 中, a1 = 1, a2 = 2, 且an+2 −an = 1 + (−1)n (n ∈N∗), 则 S100 = . 5分
4. 4. 在直角坐标系xOy 中, 已知点A(0, 1) 和点B(−3, 4), 若点C 在∠AOB 的平分线上且 # » OC  = 2, 则# » OC = . 5分
5. 5. 某公司有5 万元资金用于投资开发项目, 如果成功, 一年后可获利12%, 一 旦失败, 一年后将丧失全部资金的50%, 下表是过去200 例类似项目开发 的实施结果: 投资成功 投资失败 192 次 8 次 则该公司一年后估计可获收益的期望是 (元). 5分
6. 6. 设f(x) 是定义在R 上的奇函数, 且y = f(x) 的图象关于直线x = 1 2 对 称, 则f(1) + f(2) + f(3) + f(4) + f(5) = . 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 在△ABC 中, ∠A, ∠B, ∠C 所对的边长分别为a, b, c, 设a, b, c 满足条 件b2 + c2 −bc = a2 和c 2 + √ 3, 求∠A 和tan B 的值.
2. 2. 已知un = an + an−1b + an−2b2 + · · · + abn−1 + bn (n ∈N∗, a > 0, b > 0). (1) 当a = b 时, 求数列{un} 的前n 项和Sn; (2) 求lim n→∞ un un−1 . 266
3. 3. 如图, 在斜三棱柱ABC −A1B1C1 中, ∠A1AB = ∠A1AC, AB = AC, A1A = A1B = a, 侧面B1BCC1 与底面ABC 所成的二面角为120◦, E、 (1) 求A1A 与底面ABC 所成的角; (2) 证明A1E 平面B1FC; (3) 求经过A1, A, B, C 四点的球的体积. A B C E F A1 B1 C1
4. 4. 某人在一山坡P 处观看对面山项上的一座铁塔, 如图所示, 塔高BC = 80 (米), 塔所在的山高OB = 220 (米), OA = 200 (米), 图中所示的山坡可视 为直线l 且点P 在直线l 上, l 与水平地面的夹角为α, tan α = 1 2. 试问此 人距水平地面多高时, 观看塔的视角∠BPC 最大? (不计此人的身高) l (山坡) C 水平地面 O P α A B
5. 5. 抛物线C 的方程为y = ax2 (a < 0), 过抛物线C 上一点P(x0, y0) (x0̸ = 0) 作斜率为k1, k2 的两条直线分别交抛物线C 于A(x1, y1), B(x2, y2) 两点 (P, A, B 三点互不相同), 且满足k2 + λk1 = 0 (λ̸ = 0, λ̸ = −1). (1) 求抛物线C 的焦点坐标和准线方程; (2) 设直线AB 上一点M, 满足# » BM = λ# » MA, 证明线段PM 的中点在y 轴上; (3) 当λ = 1 时, 若点P 的坐标为(1, −1), 求∠PAB 为钝角时点A 的纵 坐标y1 的取值范围.
6. 6. 设函数f(x) = x sin x (x ∈R). (1) 证明f(x + 2kπ) −f(x) = 2kπ sin x, 其中k 为整数; (2) 设x0 为f(x) 的一个极值点, 证明[f(x0)]2 = x04 1 + x02 ; (3) 设f(x) 在(0, +∞) 内的全部极值点按从小到大的顺序排列a1, a2, · · · , an, · · · , 证明π 2 < an+1 −an < π (n = 1, 2, · · · ). 267

原卷配图（含真实几何/应用题图示）