2005年山东（文科）

本卷为官方高考数学真题（2005年山东（文科）），共 22 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 12 题）

1. 1. {an} 是首项a1 = 1, 公差d = 3 的等差数列, 如果an = 2005, 则序号n 等 于 ( ) 5分
   A. 667 B. 668 C. 669 D. 670
2. 2. 下列大小关系正确的是 ( ) 5分
   A. 0.43 < 30.4 < log40.3 B. 0.43 < log40.3 < 30.4 C. log40.3 < 0.43 < 30.4 D. log40.3 < 30.4 < 0.43
3. 3. 函数y = 1 −x x (x̸ = 0) 的反函数图象大致是 ( ) (A) x y O 1 (B) x y O −1 (C) x y O 1 (D) x y O −1 5分
4. 4. 已知函数y = sin ( x −π 12 ) cos ( x −π 12 ) , 则下列判断正确的是 ( ) ( π 12, 0 ) ( π 12, 0 ) (π 6 , 0 ) (π 6 , 0 ) 5分
   A. 此函数的最小周期为2π, 其图象的一个对称中心是 B. 此函数的最小周期为π, 其图象的一个对称中心是 C. 此函数的最小周期为2π, 其图象的一个对称中心是 D. 此函数的最小周期为π, 其图象的一个对称中心是
5. 5. 下列函数既是奇函数, 又在区间[−1, 1] 上单调递减的是 ( ) 2 (ax + a−x) 2 + x 5分
   A. f(x) = sin x B. f(x) = −|x + 1| C. f(x) = 1 D. f(x) = ln 2 −x
6. 6. 如果 ( 3x − 1 3√ x2 )n 的展开式中各项系数之和为128, 则展开式中1 x3 的 系数是 ( ) 5分
   A. 7 B. −7 C. 21 D. −21
7. 7. 函数f(x) = { sin(πx2), −1 < x < 0, ex−1, x ⩾0. 若f(1) + f(a) = 2, 则a 的所有可 能值为 ( ) √ 2 2 √ 2 2 √ 2 2 5分
   A. 1 B. − C. 1, − D. 1,
8. 8. 已知向量#»a , #»b , 且# » AB = #»a + 2#»b , # » BC = −5#»a + 6#»b , # » CD = 7#»a −2#»b , 则 一定共线的三点是 ( ) 5分
   A. A、B、D B. A、B、C C. B、C、D D. A、C、D
9. 9. 设地球的半径为R, 若甲地位于北纬45◦东经120◦, 乙地位于南纬75◦东 经120◦, 则甲、乙两地的球面距离为 ( ) (A) √ 3R 6 R 6 R 3 R 5分
   B. π C. 5π D. 2π
10. 10. 10 张奖券中只有3 张有奖, 5 个人购买, 每人1 张, 至少有1 人中奖的概 率是 ( ) 10 12 2 12 5分
    A. 3 B. 1 C. 1 D. 11
11. 11. 设集合A、B 是全集U 的两个子集, 则A ⫋B 是 ( ∁UA ) ∪B = U 的( ) 5分
    A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
12. 12. 设直线l: 2x+y+2 = 0 关于原点对称的直线为l′, 若l′ 与椭圆x2+ y2 4 = 1 的交点为A、B, 点P 为椭圆上的动点, 则使△PAB 的面积为1 2 的点P 的个数为 ( ) 5分
    A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

填空题（每题 5 分）（共 4 题）

1. 1. 某学校共有教师490 人, 其中不到40 岁的有350 人, 40 岁及以上的有140 人, 为了解普通话在该校教师中的推广普及情况, 用分层抽样的方法, 从全 体教师中抽取一个容量为70 人的样本进行普通话水平测试, 其中在不到 40 岁的教师中应抽取的人数是 . 5分
2. 2. 设双曲线x2 a2 −y2 b2 = 1 (a > 0, b > 0) 的右焦点为F, 右准线l 与两条 渐近线交于P、Q 两点, 如果△PQF 是直角三角形, 则双曲线的离心率 . 5分
   E. =
3. 3. 设x、y 满足约束条件              x + y ⩽5, 3x + 2y ⩽12, 0 ⩽x ⩽3, 0 ⩽y ⩽4, 则使得目标函数z = 6x + 5y 的最 大的点(x, y) 是 . 5分
4. 4. 已知m、n 是不同的直线, α、β 是不重合的平面, 给出下列命题: ①若m α, 则m 平行于平面α 内的任一条直线; ②若α β, m ⊂α, n ⊂β, 则m n; ③若m ⊥α, n ⊥β, m n, 则α β; ④若α β, m ⊂α, 则m β. 上面的命题中, 真命题的序号是 . (写出所有真命题的序号) 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 已知向量#» m = (cos θ, sin θ) 和#»n = (√ 2 −sin θ, cos θ ) , θ ∈(π, 2π), 且 |#» m + #»n| = 8 √ 2 5 , 求cos (θ 2 + π 8 ) 的值.
2. 2. 袋中装有黑球和白球共7 个, 从中任取2 个球都是白球的概率为1 7, 现有 甲、乙两人从袋中轮流摸取1 球, 甲先取, 乙后取, 然后甲再取· · · , 取后不 放回, 直到两人中有一人取到白球时既终止, 每个球在每一次被取出的机 会是等可能的. (1) 求袋中原有的白球的个数; (2) 求取球2 次终止的概率; (3) 求甲取到白球的概率. 260
3. 3. 已知x = 1 是函数f(x) = mx3 −3(m + 1)x2 + nx + 1 的一个极值点, 其 中m, n ∈R, m < 0. (1) 求m 与n 的关系式; (2) 求f(x) 的单调区间.
4. 4. 如图, 已知长方体ABCD −A1B1C1D1, AB = 2, AA1 = 1, 直线BD 与 平面AA1B1B 所成的角为30◦, AE 垂直BD 于E, F 为A1B1 的中点. (1) 求异面直线AE 与BF 所成的角; (2) 求平面BDF 与平面AA1B 所成的二面角(锐角) 的大小; (3) 求点A 到平面BDF 的距离. A B C D E F A1 B1 C1 D1
5. 5. 已知数列{an} 的首项a1 = 5, 前n 项和为Sn, 且Sn+1 = 2Sn +n+5 (n ∈ N∗). (1) 证明数列{an + 1} 是等比数列; (2) 令f(x) = a1x + a2x2 + · · · + anxn, 求函数f(x) 在点x = 1 处的导数
6. 6. 已知动圆过定点 (p 2, 0 ) , 且与直线x = −p 2 相切, 其中p > 0. (1) 求动圆圆心C 的轨迹的方程; (2) 设A、B 是轨迹C 上异于原点O 的两个不同点, 直线OA 和OB 的 倾斜角分别为α 和β, 当α, β 变化且α + β = π 4 , 证明直线AB 恒过定点, 并求出该定点的坐标. 261

原卷配图（含真实几何/应用题图示）