本卷为官方高考数学真题（2005年山东（理科）），共 22 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。
-
1. 1 −i
(1 + i)2 +
1 + i
(1 −i)2 =
(
) 5分
A. i
B. −i
C. 1
D. −1
-
2. 函数y = 1 −x
x
(x̸ = 0) 的反函数图象大致是
(
)
(A)
x
y
O
1
(B)
x
y
O
−1
(C)
x
y
O
1
(D)
x
y
O
−1 5分
-
3. 已知函数y = sin
(
x −π
12
)
cos
(
x −π
12
)
, 则下列判断正确的是
(
)
( π
12, 0
)
( π
12, 0
)
(π
6 , 0
)
(π
6 , 0
) 5分
A. 此函数的最小周期为2π, 其图象的一个对称中心是
B. 此函数的最小周期为π, 其图象的一个对称中心是
C. 此函数的最小周期为2π, 其图象的一个对称中心是
D. 此函数的最小周期为π, 其图象的一个对称中心是
-
4. 下列函数既是奇函数, 又在区间[−1, 1] 上单调递减的是
(
)
2 (ax + a−x)
2 + x 5分
A. f(x) = sin x
B. f(x) = −|x + 1|
C. f(x) = 1
D. f(x) = ln 2 −x
-
5. 如果
(
3x −
1
3√
x2
)n
的展开式中各项系数之和为128, 则展开式中1
x3 的
系数是
(
) 5分
A. 7
B. −7
C. 21
D. −21
-
6. 函数f(x) =
{
sin(πx2),
−1 < x < 0,
ex−1,
x ⩾0.
若f(1) + f(a) = 2, 则a 的所有可
能值为
(
)
√
2
2
√
2
2
√
2
2 5分
A. 1
B. −
C. 1, −
D. 1,
-
7. 已知向量#»a , #»b , 且# »
AB = #»a + 2#»b , # »
BC = −5#»a + 6#»b , # »
CD = 7#»a −2#»b , 则
一定共线的三点是
(
) 5分
A. A、B、D
B. A、B、C
C. B、C、D
D. A、C、D
-
8. 设地球的半径为R, 若甲地位于北纬45◦东经120◦, 乙地位于南纬75◦东
经120◦, 则甲、乙两地的球面距离为
(
)
(A)
√
3R
6 R
6 R
3 R 5分
B. π
C. 5π
D. 2π
-
9. 10 张奖券中只有3 张有奖, 5 个人购买, 每人1 张, 至少有1 人中奖的概
率是
(
)
10
12
2
12 5分
A. 3
B. 1
C. 1
D. 11
-
10. 设集合A、B 是全集U 的两个子集, 则A ⫋B 是
(
∁UA
)
∪B = U 的(
) 5分
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
-
11. 0 < a < 1, 下列不等式一定成立的是
(
) 5分
A. |log(1+a)(1 −a)| + |log(1−a)(1 + a)| > 2
B. |log(1+a)(1 −a)| < |log(1−a)(1 + a)|
C. |log(1+a)(1 −a) + log(1−a)(1 + a)| < |log(1+a)(1 −a)| + |log(1−a)(1 + a)|
D. |log(1+a)(1 −a) −log(1−a)(1 + a)| < |log(1+a)(1 −a)| −|log(1−a)(1 + a)|
-
12. 设直线l: 2x+y+2 = 0 关于原点对称的直线为l′, 若l′ 与椭圆x2+ y2
4 = 1
的交点为A、B, 点P 为椭圆上的动点, 则使△PAB 的面积为1
2 的点P
的个数为
(
) 5分
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
-
1. lim
n→∞
C2
n + 2Cn−2
n
(n + 1)2
=
. 5分
-
2. 设双曲线x2
a2 −y2
b2 = 1 (a > 0, b > 0) 的右焦点为F, 右准线l 与两条
渐近线交于P、Q 两点, 如果△PQF 是直角三角形, 则双曲线的离心率
. 5分
E. =
-
3. 设x、y 满足约束条件
x + y ⩽5,
3x + 2y ⩽12,
0 ⩽x ⩽3,
0 ⩽y ⩽4,
则使得目标函数z = 6x + 5y 的最
大的点(x, y) 是
. 5分
-
4. 已知m、n 是不同的直线, α、β 是不重合的平面, 给出下列命题:
①若α
β, m ⊂α, n ⊂β, 则m
n;
②若m, n ⊂α, m
β, n
β, 则α
β;
③若m ⊥α, n ⊥β, m
n, 则α
β;
④m, n 是两条异面直线, 若m
α, m
β, n
α, n
β, 则α
β.
上面的命题中, 真命题的序号是
. (写出所有真命题的序号) 5分
-
1. 已知向量#»
m = (cos θ, sin θ) 和#»n =
(√
2 −sin θ, cos θ
)
, θ ∈(π, 2π), 且
|#»
m + #»n| = 8
√
2
5 , 求cos
(θ
2 + π
8
)
的值.
-
2. 袋中装有黑球和白球共7 个, 从中任取2 个球都是白球的概率为1
7, 现有
甲、乙两人从袋中轮流摸取1 球, 甲先取, 乙后取, 然后甲再取· · · , 取后不
放回, 直到两人中有一人取到白球时既终止. 每个球在每一次被取出的机
会是等可能的, 用ξ 表示取球终止所需要的取球次数.
(1) 求袋中所有的白球的个数;
(2) 求随机变量ξ 的概率分布;
(3) 求甲取到白球的概率.
258
-
3. 已知x = 1 是函数f(x) = mx3 −3(m + 1)x2 + nx + 1 的一个极值点, 其
中m, n ∈R, m < 0.
(1) 求m 与n 的关系式;
(2) 求f(x) 的单调区间;
(3) 当x ∈[−1, 1] 时, 函数y = f(x) 的图象上任意一点的切线斜率恒大于
3m, 求m 的取值范围.
-
4. 如图, 已知长方体ABCD −A1B1C1D1, AB = 2, AA1 = 1, 直线BD 与
平面AA1B1B 所成的角为30◦, AE 垂直BD 于E, F 为A1B1 的中点.
(1) 求异面直线AE 与BF 所成的角;
(2) 求平面BDF 与平面AA1B 所成的二面角(锐角) 的大小;
(3) 求点A 到平面BDF 的距离.
A
B
C
D
E
F
A1
B1
C1
D1
-
5. 已知数列{an} 的首项a1 = 5, 前n 项和为Sn, 且Sn+1 = 2Sn +n+5 (n ∈
N∗).
(1) 证明数列{an + 1} 是等比数列;
(2) 令f(x) = a1x + a2x2 + · · · + anxn, 求函数f(x) 在点x = 1 处的导数
-
6. 已知动圆过定点
(p
2, 0
)
, 且与直线x = −p
2 相切, 其中p > 0.
(1) 求动圆圆心C 的轨迹的方程;
(2) 设A、B 是轨迹C 上异于原点O 的两个不同点, 直线OA 和OB 的
倾斜角分别为α 和β, 当α, β 变化且α + β 为定值θ (0 < θ < π) 时, 证
明直线AB 恒过定点, 并求出该定点的坐标.
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