2005年广东

本卷为官方高考数学真题（2005年广东），共 20 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 10 题）

1. 1. 若集合M = {x | |x| ⩽2}, N = {x | x2 −3x = 0}, 则M ∩N = ( ) 5分
   A. {3} B. {0} C. {0, 2} D. {0, 3}
2. 2. 若(a −2i)i = b −i, 其中a、b ∈R, i 是虚数单位, 则a2 + b2 = ( ) 2 5分
   A. 0 B. 2 C. 5 D. 5
3. 3. lim x→−3 x + 3 x2 −9 = ( ) 6 6 3 5分
   A. −1 B. 0 C. 1 D. 1
4. 4. 已知高为3 的直棱柱ABC −A′B′C′ 的底面是边长为1 的正三角形(如图 所示), 则三棱锥B′ −ABC 的体积为 ( ) A B C A′ C′ B′ 4 2 (C) √ 3 6 (D) √ 3 4 5分
   A. 1 B. 1
5. 5. 若焦点在x 轴上的椭圆x2 2 + y2 m = 1 的离心率为1 2, 则m = ( ) (A) √ 3 2 3 3 5分
   B. 3 C. 8 D. 2
6. 6. 函数f(x) = x3 −3x2 + 1 是减函数的区间为 ( ) 5分
   A. (2, +∞) B. (−∞, 2) C. (−∞, 0) D. (0, 2)
7. 7. 给出下列关于互不相同的直线m、l、n 和平面α、β 的四个命题: ①若m ⊂α, l ∩α = A, A /∈m, 则l 与m 不共面; ②若m、l 是异面直线, l α, m α, 且n ⊥l, n ⊥m, 则n ⊥α; ③若l α, m β, α β, 则l m; ④若l ⊂α, m ⊂α, l ∩m = A, l β, m β, 则α β. 其中为假命题的是 ( ) 5分
   A. ① B. ② C. ③ D. ④
8. 8. 先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数1、2、3、4、 5、6), 骰子朝上的面的点数分别为X、Y , 则log2XY = 1 的概率为 ( ) 6 36 12 2 5分
   A. 1 B. 5 C. 1 D. 1
9. 9. 在同一平面直角坐标系中, 函数y = f(x) 和y = g(x) 的图象关于直线 y = x 对称. 现将y = g(x) 的图象沿x 轴向左平移2 个单位, 再沿y 轴向 上平移1 个单位, 所得的图象是由两条线段组成的折线(如图所示), 则函 数f(x) 的表达式为 ( ) x 1 2 −1 −2 1 2 3 y O    2x + 2, −1 ⩽x ⩽0, x 2 + 2, 0 < x ⩽2.    2x −2, −1 ⩽x ⩽0, x 2 −2, 0 < x ⩽2.    2x −2, 1 ⩽x ⩽2, x 2 + 1, 2 < x ⩽4.    2x −6, 1 ⩽x ⩽2, x 2 −3, 2 < x ⩽4. 5分
   A. f(x) = B. f(x) = C. f(x) = D. f(x) =
10. 10. 已知数列{xn} 满足x2 = x1 2 , xn = 1 2(xn−1 + xn−2), n = 3, 4, · · · . 若 lim n→∞xn = 2, 则x1 = ( ) 2 5分
    A. 3 B. 3 C. 4 D. 5

填空题（每题 5 分）（共 4 题）

1. 1. 函数f(x) = 1 √1 −ex 的定义域是 . 5分
2. 2. 已知向量#»a = (2, 3), #»b = (x, 6), 且#»a #»b , 则x = . 5分
3. 3. 已知(x cos θ + 1)5 的展开式中x2 的系数与 ( x + 5 4 )4 的展开式中x3 的 系数相等, 则cos θ= . 5分
4. 4. 设平面内有n 条直线(n ⩾3), 其中有且仅有两条直线互相平行, 任 意三条直线不过同一点. 若用f(n) 表示这n 条直线交点的个数, 则 f(4) = ; 当n > 4 时, f(n) = . (用n 表示) 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 化简f(x) = cos (6k + 1 3 π + 2x ) + cos (6k −1 3 π −2x ) + 2 √ 3 sin (π 3 + 2x ) (x ∈R , k ∈Z), 并求函数f(x) 的值域和最小正周期.
2. 2. 如图所示, 在四面体P −ABC 中, 已知PA = BC = 6, PC = AB = 10, AC = 8, PB = 2 √ 34. F 是线段PB 上一点, CF = 15 17 √ 34, 点E 在线段 AB 上, 且EF ⊥PB. (1) 证明: PB ⊥平面CEF; (2) 求二面角B −CE −F 的大小. C B A E P F
3. 3. 在平面直角坐标系xOy 中, 抛物线y = x2 上异于坐标原点O 的两不同动 点A、B 满足AO ⊥BO (如图所示). (1) 求△AOB 的重心G (即三角形三条中线的交点) 的轨迹方程; (2) △AOB 的面积是否存在最小值? 若存在, 请求出最小值; 若不存在, 请 说明理由. x A B y O 228
4. 4. 箱中装有大小相同的黄、白两种颜色的乒乓球, 黄、白乒乓球的数量比为 s : t. 现从箱中每次任意取出一个球, 若取出的是黄球则结束, 若取出的是 白球, 则将其放回箱中, 并继续从箱中任意取出一个球, 但取球的次数最多 不超过n 次, 以ξ 表示取球结束时已取到白球的次数. (1) 求ξ 的分布列; (2) 求ξ 的数学期望.
5. 5. 设函数f(x) 在(−∞, +∞) 上满足f(2−x) = f(2+x), f(7−x) = f(7+x), 且在闭区间[0, 7] 上, 只有f(1) = f(3) = 0. (1) 试判断函数y = f(x) 的奇偶性; (2) 试求方程f(x) = 0 在闭区间[−2005, 2005] 上的根的个数, 并证明你的 结论.
6. 6. 在平面直角坐标系中, 已知矩形ABCD 的长为2, 宽为1, AB、AD 边分 别在x 轴、y 轴的正半轴上, A 点与坐标原点重合(如图所示). 将矩形折 叠, 使A 点落在线段DC 上. (1) 若折痕所在直线的斜率为k, 试写出折痕所在直线的方程; (2) 求折痕的长的最大值. x C B y D A 229

原卷配图（含真实几何/应用题图示）