本卷为官方高考数学真题（2005年江苏），共 23 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。
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1. 设集合A = {1, 2}, B = {1, 2, 3}, C = {2, 3, 4}, 则(A ∩B) ∪C = (
) 5分
A. {1, 2, 3}
B. {1, 2, 4}
C. {2, 3, 4}
D. {1, 2, 3, 4}
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2. 函数y = x1−x + 3 (x ∈R) 的反函数的解析表达式为
(
)
2
x −3
x −3
2
3 −x
2
2
3 −x 5分
A. y = log2
B. y = log2
C. y = log2
D. y = log2
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3. 在各项都为正数的等比数列{an} 中, 首项a1 = 3, 前三项和为21, 则
a3 + a4 + a5 =
(
) 5分
A. 33
B. 72
C. 84
D. 189
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4. 在正三棱柱ABC −A1B1C1 中, 若AB = 2, AA1 = 1, 则点A 到平面
A1BC 的距离为
(
)
(A)
√
3
4
(B)
√
3
2
√
3
4
(D)
√
3 5分
C. 3
-
5. △ABC 中, A = π
3 , BC = 3, 则△ABC 的周长为
(
)
√
3 sin
(
3
)
+ 3
√
3 sin
(
6
)
+ 3
(
3
)
+ 3
(
6
)
+ 3 5分
A. 4
B. + π
B. 4
B. + π
C. 6 sin
B. + π
D. 6 sin
B. + π
-
6. 抛物线y = 4x2 上的一点M 到焦点的距离为1, 则点M 的纵坐标是(
)
16
16
8 5分
A. 17
B. 15
C. 7
D. 0
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7. 在一次歌手大奖赛上, 七位评委为歌手打出的分数如下: 9.4, 8.4, 9.4, 9.9,
9.6, 9.4, 9.7. 去掉一个最高分和一个最低分后, 所剩数据的平均值和方差
分别为
(
) 5分
A. 9.4, 0.484
B. 9.4, 0.016
C. 9.5, 0.04
D. 9.5, 0.016
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8. 设α, β, γ 为两两不重合的平面, l, m, n 为两两不重合的直线, 给出下列四
个命题:
①若α ⊥γ, β ⊥γ, 则α
β;
②若m ⊂α, n ⊂α, m
β, n
β, 则α
β;
③若α
β, l ⊂α, 则l
β;
④若α ∩β = l, β ∩γ = m, γ ∩α = n, l
γ, 则m
n.
其中真命题的个数是
(
) 5分
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
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9. 设k = 1, 2, 3, 4, 5, 则(x + 2)5 的展开式中xk 的系数不可能是
(
) 5分
A. 10
B. 40
C. 50
D. 80
-
10. 若sin
(π
6 −α
)
= 1
3, 则cos
(2π
3 + 2α
)
=
(
)
9
3
3
9 5分
A. −7
B. −1
C. 1
D. 7
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11. 点P(−3, 1) 在椭圆x2
a2 + y2
b2 = 1 (a > b > 0) 的左准线上. 过点P 且方向
为a = (2, −5) 的光线, 经直线y = −2 反射后通过椭圆的左焦点, 则这个
椭圆的离心率为
(
)
(A)
√
3
3
3
(C)
√
2
2
2 5分
B. 1
D. 1
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12. 四棱锥的8 条棱代表8 种不同的化工产品, 有公共点的两条棱代表的化工
产品放在同一仓库是危险的, 没有公共顶点的两条棱多代表的化工产品放
在同一仓库是安全的, 现打算用编号为①、②、③、④的4 个仓库存放这8
种化工产品, 那么安全存放的不同方法种数为
(
) 5分
A. 96
B. 48
C. 24
D. 0
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1. 命题“若a > b, 则2a > 2b −1”的否命题为
. 5分
-
2. 曲线y = x3 + x + 1 在点(1, 3) 处的切线方程是
. 5分
-
3. 函数y =
√
log0.5(4x2 −3x) 的定义域为
. 5分
-
4. 若3a = 0.618, a ∈[k, k + 1), k ∈Z, 则k =
. 5分
-
5. 已知a, b 为常数, 若f(x) = x2 + 4x + 3, f(ax + b) = x2 + 10x + 24, 则
5a −b =
. 5分
-
6. 在△ABC 中, O 为中线AM 上的一个动点, 若AM = 2, 则# »
OA · (# »
OB +
# »
OC) 的最小值是
. 5分
-
1. 如图, 圆O1 与圆O2 的半径都是1, O1O2 = 4, 过动点P 分别作圆O1、圆
O2 的切线PM、PN (M、N 分别为切点), 使得PM =
√
2PN. 试建立
适当的坐标系, 并求动点P 的轨迹方程.
P
M
N
O1
O2
•
•
-
2. 甲、乙两人各射击一次, 击中目标的概率分别是2
3 和3
4. 假设两人射击是
否击中目标, 相互之间没有影响; 每次射击是否击中目标, 相互之间没有影
响.
(1) 求甲射击4 次, 至少1 次未击中目标的概率;
(2) 求两人各射击4 次, 甲恰好击中目标2 次且乙恰好击中目标3 次的概
率;
(3) 假设某人连续2 次未击中目标, 则停止射击. 问: 乙恰好射击5 次后,
被中止射击的概率是多少?
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3. 如图, 在五棱锥S−ABCDE 中, SA ⊥底面ABCDE, SA = AB = AE =
2, BC = DE =
√
3, ∠BAE = ∠BCD = ∠CDE = 120◦.
(1) 求异面直线CD 与SB 所成的角; (用反三角函数值表示)
(2) 证明: BC ⊥平面SAB;
(3) 用反三角函数值表示二面角B −SC −D 的大小. (本小问不必写出解
答过程)
A
B
C
E
D
S
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4. 已知a ∈R, 函数f(x) = x2|x −a|.
(1) 当a = 2 时, 求f(x) = x 使成立的x 的集合;
(2) 求函数y = f(x) 在区间[1, 2] 上的最小值.
-
5. 设数列{an} 的前项和为Sn, 已知a1 = 1, a2 = 6, a3 = 11, 且
(5n −8)Sn+1 −(5n + 2)Sn = An + B, n = 1, 2, 3, · · · , 其中A, B 为
常数.
(1) 求A 与B 的值;
(2) 证明数列{an} 为等差数列;
(3) 证明不等式√5amn −√aman > 1 对任何正整数m、n 都成立.
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