2005年江西（文科）

本卷为官方高考数学真题（2005年江西（文科）），共 22 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 12 题）

1. 1. 设集合I = {x | |x| < 3, x ∈Z}, A = {1, 2}, B = {−2, −1, 2}, 则 ( ) 5分
   A. ∪(∁IB) = A. {1} B. {1, 2} C. {2} D. {0, 1, 2}
2. 2. 已知tan α 2 = 3, 则cos α = ( ) 5 5 15 5 5分
   A. 4 B. −4 C. 4 D. −3
3. 3. (√x + 3√x) 12 的展开式中, 含x 的正整数次幂的项共有 ( ) 5分
   A. 4 项 B. 3 项 C. 2 项 D. 1 项
4. 4. 函数f(x) = 1 log2(−x2 + 4x −3) 的定义域为 ( ) 5分
   A. (1, 2) ∪(2, 3) B. (−∞, 1) ∪(3, +∞) C. (1, 3) D. [1, 3]
5. 5. 设函数f(x) = sin 3x + | sin 3x|, 则f(x) 为 ( ) 3 3 5分
   A. 周期函数, 最小正周期为π B. 周期函数, 最小正周期为2π C. 周期函数, 数小正周期为2π D. 非周期函数
6. 6. 已知向量#»a = (1, 2), #»b (−2, −4), |#»c | = √ 5, 若(#»a + #»b ) · #»c = 5 2, 则#»a 与 #»c 的夹角为 ( ) 5分
   A. 30◦ B. 60◦ C. 120◦ D. 150◦
7. 7. 将9 个(含甲、乙) 平均分成三组, 甲、乙分在同一组, 则不同分组方法的 种数为 ( ) 5分
   A. 70 B. 140 C. 280 D. 840
8. 8. 在△ABC 中, 设命题p: a sin B = b sin C = c sin A, 命题q: △ABC 是等边 三角形, 那么命题p 是命题q 的 ( ) 5分
   A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件
9. 9. 矩形ABCD 中, AB = 4, BC = 3, 沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二 面角B −AC −D, 则四面体ABCD 的外接球的体积为 ( ) 12 π 9 π 6 π 3 π 5分
   A. 125 B. 125 C. 125 D. 125
10. 10. 已知实数a, b 满足等式 (1 2 )a = (1 3 )b , 下列五个关系式： ①0 < b < a; ②a < b < 0; ③0 < a < b; ④b < a < 0; ⑤a = b. 其中不可能成立的关系式有 ( ) 5分
    A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个
11. 11. 在△OAB 中, O 为坐标原点, A(1, cos θ), B(sin θ, 1), θ ∈ ( 0, π 2 ] , 则 △OAB 的面积达到最大值时, θ = ( ) 6 4 3 2 5分
    A. π B. π C. π D. π
12. 12. 为了解某校高三学生的视力情况, 随机地抽查了该校100 名高三学生的视 力情况, 得到频率分布直方图. 由于不慎将部分数据丢失, 但知道前4 组的 频数成等比数列, 后6 组的频数成等差数列, 设最大频率为a, 视力在4.6 到5.0 之间的学生数为b, 则a, b 的值分别为 ( ) 频率 组距 0 视力 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5.0 5.1 5.2 0.1 0.3 5分
    A. 0.27, 78 B. 0.27, 83 C. 2.7, 78 D. 2.7, 83

填空题（每题 5 分）（共 4 题）

1. 1. 若函数f(x) = loga(x + √ x2 + 2a2) 是奇函数, 则a = . 5分
2. 2. 设实数x, y 满足        x −y −2 ⩽0, x + 2y −4 > 0, 2y −3 ⩽0, 则y x 的最大值是 . 5分
3. 3. 如图, 在三棱锥P −ABC 中, PA = PB = PC = BC, 且∠BAC = π 2 , 则 PA 与底面ABC 所成角为 . A B C P 5分
4. 4. 以下同个关于圆锥曲线的命题中: ①设A、B 为两个定点, k 为非零常数, # » PA  − # » PB  = k, 则动点P 的轨 迹为双曲线; ②设定圆C 上一定点A 作圆的动点弦AB, O 为坐标原点, 若# » OP = 1 2 (# » OA + # » OB ) , 则动点P 的轨迹为椭圆; ③方程2x2 −5x + 2 = 0 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率; ④双曲线x2 25 −y2 9 = 1 与椭圆x2 35 + y2 = 1 有相同的焦点. 其中真命题的序号为 . (写出所有真命题的序号) 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 已知函数f(x) = x2 ax + b (a, b 为常数), 且方程f(x) −x + 12 = 0 有两个 实根为x1 = 3, x2 = 4. (1) 求函数f(x) 的解析式; (2) 设k > 1, 解关于x 的不等式: f(x) < (k + 1)x −k 2 −x .
2. 2. 已知向量#»a = ( 2 cos x 2, tan (x 2 + π 4 )) , #»b = (√ 2 sin (x 2 + π 4 ) , tan (x 2 − π 4 )) , 令f(x) = #»a · #»b . 求函数f(x) 的最大值, 最小正周期, 并写出f(x) 在[0, π] 上的单调区间. 242
3. 3. 正面朝上时A 赢得B 一张卡片, 否则B 赢得A 一张卡片, 如果某人已赢 得所有卡片, 则游戏终止. 求掷硬币的次数不大于7 次时游戏终止的概率.
4. 4. 如图, 在长方体ABCD −A1B1C1D1, 中, AD = AA1 = 1, AB = 2, 点E 在棱AD 上移动. (1) 证明: D1E ⊥A1D; (2) 当E 为AB 的中点时, 求点E 到面ACD1 的距离; (3) AE 等于何值时, 二面角D1 −EC −D 的大小为π 4 . A1 B1 C1 A B C E D D1
5. 5. 如图, M 是抛物线上y2 = x 上的一点, 动弦ME、MF 分别交x 轴于A、 (1) 若M 为定点, 证明: 直线EF 的斜率为定值; (2) 若M 为动点, 且∠EMF = 90◦, 求△EMF 的重心G 的轨迹方程. x A E B y M F O
6. 6. 已知数列{an} 的前n 项和Sn 满足Sn −Sn−2 = 3 ( −1 2 )n−1 (n ⩾3), 且 S1 = 1, S2 = −3 2, 求数列{an} 的通项公式. 243

原卷配图（含真实几何/应用题图示）