2005年江西（理科）

本卷为官方高考数学真题（2005年江西（理科）），共 22 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 12 题）

1. 1. 设集合I = {x | |x| < 3, x ∈Z}, A = {1, 2}, B = {−2, −1, 2}, 则 ( ) 5分
   A. ∪(∁IB) = A. {1} B. {1, 2} C. {2} D. {0, 1, 2}
2. 2. 设复数: z1 = 1 + i, z2 = x + 2i (x ∈R), 若z1z2 为实数, 则x = ( ) 5分
   A. −2 B. −1 C. 1 D. 2
3. 3. “a = b”是“直线y = x + 2 与圆(x −a)2 + (y + b)2 = 2 相切”的 ( ) 5分
   A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件
4. 4. (√x + 3√x) 12 的展开式中, 含x 的正整数次幂的项共有 ( ) 5分
   A. 4 项 B. 3 项 C. 2 项 D. 1 项
5. 5. 设函数f(x) = sin 3x + | sin 3x|, 则f(x) 为 ( ) 3 3 5分
   A. 周期函数, 最小正周期为π B. 周期函数, 最小正周期为2π C. 周期函数, 数小正周期为2π D. 非周期函数
6. 6. 已知向量#»a = (1, 2), #»b (−2, −4), |#»c | = √ 5, 若(#»a + #»b ) · #»c = 5 2, 则#»a 与 #»c 的夹角为 ( ) 5分
   A. 30◦ B. 60◦ C. 120◦ D. 150◦
7. 7. 已知函数y = xf ′(x) 的图象如图所示(其中f ′(x) 是函数f(x) 的导函数), 下面四个图象中, y = f(x) 的图象大致是 ( ) x 1 −1 y O (A) x 1 −1 2 −2 1 2 y O (B) x 1 −1 2 −2 1 2 y O (C) x 1 −1 2 −2 1 2 y O (D) x 1 −1 2 −2 1 2 y O 5分
8. 8. 若lim x→1 f(x −1) x −1 = 1, 则lim x→1 x −1 f(2 −2x) = ( ) 2 2 5分
   A. −1 B. 1 C. −1 D. 1
9. 9. 矩形ABCD 中, AB = 4, BC = 3, 沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二 面角B −AC −D, 则四面体ABCD 的外接球的体积为 ( ) 12 π 9 π 6 π 3 π 5分
   A. 125 B. 125 C. 125 D. 125
10. 10. 已知实数a, b 满足等式 (1 2 )a = (1 3 )b , 下列五个关系式： ①0 < b < a; ②a < b < 0; ③0 < a < b; ④b < a < 0; ⑤a = b. 其中不可能成立的关系式有 ( ) 5分
    A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个
11. 11. 在△OAB 中, O 为坐标原点, A(1, cos θ), B(sin θ, 1), θ ∈ ( 0, π 2 ] , 则 △OAB 的面积达到最大值时, θ = ( ) 6 4 3 2 5分
    A. π B. π C. π D. π
12. 12. 将1, 2, · · · , 9 这9 个数平均分成三组, 则每组的三个数都成等差数列的概 率为 ( ) 56 70 (C) 1 336 (D) 1 420 5分
    A. 1 B. 1

填空题（每题 5 分）（共 4 题）

1. 1. 若函数f(x) = loga(x + √ x2 + 2a2) 是奇函数, 则a = . 5分
2. 2. 设实数x, y 满足        x −y −2 ⩽0, x + 2y −4 > 0, 2y −3 ⩽0, 则y x 的最大值是 . 5分
3. 3. 如图, 在直三棱柱ABC −A1B1C1 中, AB = BC = √ 2, BB1 = 2, ∠ABC = 90◦, E、F 分别为AA1、C1B1 的中点, 沿棱柱的表面从E 到F 两点的最短路径的长度为 . A B C E F A1 B1 C1 • • 5分
4. 4. 以下同个关于圆锥曲线的命题中: ①设A、B 为两个定点, k 为非零常数, # » PA  − # » PB  = k, 则动点P 的轨 迹为双曲线; ②设定圆C 上一定点A 作圆的动点弦AB, O 为坐标原点, 若# » OP = 1 2 (# » OA + # » OB ) , 则动点P 的轨迹为椭圆; ③方程2x2 −5x + 2 = 0 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率; ④双曲线x2 25 −y2 9 = 1 与椭圆x2 35 + y2 = 1 有相同的焦点. 其中真命题的序号为 . (写出所有真命题的序号) 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 已知函数f(x) = x2 ax + b (a, b 为常数), 且方程f(x) −x + 12 = 0 有两个 实根为x1 = 3, x2 = 4. (1) 求函数f(x) 的解析式; (2) 设k > 1, 解关于x 的不等式: f(x) < (k + 1)x −k 2 −x .
2. 2. 已知向量#»a = ( 2 cos x 2, tan (x 2 + π 4 )) , #»b = (√ 2 sin (x 2 + π 4 ) , tan (x 2 − π 4 )) , 令f(x) = #»a · #»b . 是否存在实数x ∈[0, π], 使f(x) + f ′(x) = 0 (其 中f ′(x) 是f(x) 的导函数)? 若存在, 则求出x 的值; 若不存在, 则证明之. 240
3. 3. 正面朝上时A 赢得B 一张卡片, 否则B 赢得A 一张卡片. 规定掷硬币的 次数达9 次时, 或在此前某人已赢得所有卡片时游戏终止. 设ξ 表示游戏 终止时掷硬币的次数. (1) 求ξ 的取值范围; (2) 求ξ 的数学期望Eξ.
4. 4. 如图, 在长方体ABCD −A1B1C1D1, 中, AD = AA1 = 1, AB = 2, 点E 在棱AD 上移动. (1) 证明: D1E ⊥A1D; (2) 当E 为AB 的中点时, 求点E 到面ACD1 的距离; (3) AE 等于何值时, 二面角D1 −EC −D 的大小为π 4 . A1 B1 C1 A B C E D D1
5. 5. 已知数列{an} 的各项都是正数, 且满足: a0 = 1, an+1 = 1 2an(4 −an), n ∈N. (1) 证明: an < an+1 < 2, n ∈N; (2) 求数列{an} 的通项公式an.
6. 6. 如图, 设抛物线C: y = x2 的焦点为F, 动点P 在直线l: x −y −2 = 0 上 运动, 过P 作抛物线C 的两条切线PA、PB, 且与抛物线C 分别相切于 (1) 求△APB 的重心G 的轨迹方程; (2) 证明∠PFA = ∠PFB. x A P B y F O 241

原卷配图（含真实几何/应用题图示）