本卷为官方高考数学真题（2005年浙江（理科）），共 20 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。
-
1. lim
n→∞
1 + 2 + 3 + · · · + n
n2
=
(
)
2 5分
A. 2
B. 4
C. 1
D. 0
-
2. 点(1, −1) 到直线x −y + 1 = 0 的距离是
(
)
2
2
(C)
√
2
2
√
2
2 5分
A. 1
B. 3
D. 3
-
3. 设f(x) =
|x −1| −2,
|x| ⩽1,
1
1 + x2 ,
|x| > 1,
则f
[
f
(1
2
)]
=
(
)
2
13
5
41 5分
A. 1
B. 4
C. −9
D. 25
-
4. 在复平面内, 复数
i
1 + i + (1 +
√
3i)2 对应的点位于
(
) 5分
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
-
5. 在(1 −x)5 + (1 −x)6 + (1 −x)7 + (1 −x)8 的展开式中, 含x3 的项的系数
是
(
) 5分
A. 74
B. 121
C. −74
D. −121
-
6. 设α、β 为两个不同的平面, l、m 为两条不同的直线, 且l ⊂α, m ⊂β, 有
如下的两个命题: ①若α
β, 则l
m; ②若l ⊥m, 则α ⊥β. 那么(
) 5分
A. ①是真命题, ②是假命题
B. ①是假命题, ②是真命题
C. ①②都是真命题
D. ①②都是假命题
-
7. 设集合A = {(x, y) | x, y, 1 −x −y 是三角形的三边长}, 则A 所表示的
平面区域(不含边界的阴影部分) 是
(
)
(A)
1
x
y
1
2
1
O
1
2
(B)
1
x
y
1
2
1
O
1
2
(C)
1
x
y
1
2
1
O
1
2
(D)
1
x
y
1
2
1
O
1
2 5分
-
8. 已知k < −4, 则函数y = cos 2x + k(cos x −1) 的最小值是
(
) 5分
A. 1
B. −1
C. 2k + 1
D. −2k + 1
-
9. 设f(n) = 2n + 1 (n ∈N), P = {1, 2, 3, 4, 5}, Q = {3, 4, 5, 6, 7},
记ˆP = {n ∈N | f(n) ∈P }, ˆQ = {n ∈N | f(n) ∈Q}, 则
(
ˆP ∩∁N ˆQ
)
∪
(
ˆQ ∩∁N ˆP
)
=
(
) 5分
A. {0, 3}
B. {1, 2}
C. {3, 4, 5}
D. {1, 2, 6, 7}
-
10. 已知向量#»a̸ = #»e , |#»e | = 1, 对任意t ∈R, 恒有|#»a −t#»e | ⩾|#»a −#»e |, 则 5分
A. #»a ⊥#»e
B. #»a ⊥(#»a −#»e )
C. #»e ⊥(#»a −#»e )
D. (#»a + #»e ) ⊥(#»a −#»e )
-
1. 函数y =
x
x + 2 (x ∈R, 且x̸ = −2) 的反函数是
. 5分
-
2. 设M、N 是直角梯形ABCD 两腰的中点, DE ⊥AB 于E (如图). 现
将△ADE 沿DE 折起, 使二面角A −DE −B 为45◦, 此时点A 在平
面BCDE 内的射影恰为点B, 则M、N 的连线与AE 所成角的大小等
于
.
C
B
A
M
N
D
E
•
•
C
N
M
B
A
D
E 5分
-
3. 过双曲线x2
a2 −y2
b2 = 1 (a > 0, b > 0) 的左焦点且垂直于x 轴的直线与双
曲线相交于M、N 两点, 以MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点, 则
双曲线的离心率等于
. 5分
-
4. 从集合{O, P, Q, R, S} 与{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} 中各任取2 个
元素排成一排(字母和数字均不能重复). 每排中字母O, Q 和数字0 至多
只能出现一个的不同排法种数是
. (用数字作答). 5分
-
1. 已知函数f(x) = −
√
3 sin2 x + sin x cos x.
(1) 求f
(25π
6
)
的值;
(2) 设α ∈(0, π), f
(α
2
)
= 1
4 −
√
3
2 , 求sin α 的值.
-
2. 已知函数f(x) 和g(x) 的图象关于原点对称, 且f(x) = x2 + 2x.
(1) 求函数g(x) 的解析式;
(2) 解不等式g(x) ⩾f(x) −|x −1|.
-
3. 如图, 已知椭圆的中心在坐标原点, 焦点F1, F2 在x 轴上, 长轴A1A2 的
长为4, 左准线l 与x 轴的交点为M, |MA1| : |A1F1| = 2 : 1.
(1) 求椭圆的方程;
(2) 若直线l1: x = m (|m| > 1), P 为l1 上的动点, 使∠F1PF2 最大的点
P 记为Q, 求点Q 的坐标. (用m 表示)
F1
F2
x
P
y
A1
A2
l
l1
O
M
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-
4. 如图, 在三棱锥P −ABC 中, AB ⊥BC, AB = BC = kPA, 点O、D 分
别是AC、PC 的中点, OP ⊥底面ABC.
(1) 求证: OD
平面PAB;
(2) 当k = 1
2 时, 求直线PA 与平面PBC 所成角的大小;
(3) 当k 取何值时, O 在平面PBC 内的射影恰好为△PBC 的重心?
C
B
A
O
D
P
-
5. 袋子A 和B 中装有若干个均匀的红球和白球, 从A 中摸出一个红球的概
率是1
3, 从B 中摸出一个红球的概率为p.
(1) 从A 中有放回地摸球, 每次摸出一个, 有3 次摸到红球即停止.
①求恰好摸5 次停止的概率;
②记5 次之内(含5 次) 摸到红球的次数为ξ, 求随机变量ξ 的分布率
及数学期望Eξ;
(2) 若A、B 两个袋子中的球数之比为1 : 2, 将A、B 中的球装在一起后,
从中摸出一个红球的概率是2
5, 求p 的值.
-
6. 设点An(xn, 0), Pn(xn, 2n−1) 和抛物线Cn: y = x2 + anx + bn (n ∈N∗),
其中an = −2 −4n −
1
2n−1 , xn 由以下方法得到:
x1 = 1, 点P2(x2, 2) 在抛物线C1 : y = x2 + a1x + b1 上, 点A1(x1, 0) 到
P2 的距离是A1 到C1 上点的最短距离, · · · , 点Pn+1(xn+1, 2n) 在抛物线
Cn : y = x2 + anx + bn 上, 点An(xn, 0) 到Pn+1 的距离是An 到Cn 上点
的最短距离.
(1) 求x2 及C1 的方程.
(2) 证明{xn} 是等差数列.
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