2005年湖北（文科）

本卷为官方高考数学真题（2005年湖北（文科）），共 22 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 12 题）

1. 1. 设P、Q 为两个非空实数集合, 定义集合P + Q = {a + b | a ∈P, b ∈Q}, 若P = {0, 2, 5}, Q = {1, 2, 6}, 则P + Q 中元素的个数是 ( ) 5分
   A. 9 B. 8 C. 7 D. 6
2. 2. 对任意实数a, b, c, 给出下列命题: ①“a = b”是“ac = bc”充要条件; ②“a + 5 是无理数”是“a 是无理数”的充要条件; ③“a > b”是“a2 > b2”的充分条件; ④“a < 5”是“a < 3”的必要条件. 其中真命题的个数是 ( ) 5分
   A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
3. 3. 已知向量#»a = (−2, 2), #»b = (5, k). 若 #»a + #»b  不超过5, 则k 的取值范围 是 ( ) 5分
   A. [−4, 6] B. [−6, 4] C. [−6, 2] D. [−2, 6]
4. 4. 函数y = e| ln x| −|x −1| 的图象大致是 ( ) (A) x 1 1 y O (B) x 1 1 y O (C) x 1 1 y O (D) x 1 1 y O 5分
5. 5. 木星的体积约是地球体积的240 √ 30 倍, 则它的表面积约是地球表面积 的 ( ) √ 30 倍 √ 30 倍 5分
   A. 60 倍 B. 60 C. 120 倍 D. 120
6. 6. 双曲线x2 m −y2 n = 1 (mn̸ = 0) 离心率为2, 有一个焦点与抛物线y2 = 4x 的焦点重合, 则mn 的值为 ( ) 16 8 3 3 5分
   A. 3 B. 3 C. 16 D. 8
7. 7. 在y = 2x, y = log2x, y = x2, y = cos 2x 这四个函数中, 当0 < x1 < x2 < 1 时, 使f (x1 + x2 2 ) > f(x1) + f(x2) 2 恒成立的函数的个数是 ( ) 5分
   A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
8. 8. 已知a、b、c 是直线, β 是平面, 给出下列命题: ①若a ⊥b, b ⊥c, 则a c; ②若a b, b ⊥c, 则a ⊥c; ③若a β, b ⊂β, 则a b; ④若a 与b 异面, 且a β, 则bβ 相交; ⑤若a 与b 异面, 则至多有一条直线与a, b 都垂直. 其中真命题的个数是 ( ) 5分
   A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
9. 9. 把一同排6 张座位编号为1, 2, 3, 4, 5, 6 的电影票全部分给4 个人, 每人 至少分1 张, 至多分2 张, 且这两张票具有连续的编号, 那么不同的分法种 数是 ( ) 5分
   A. 168 B. 96 C. 72 D. 144
10. 10. 若sin α + cos α = tan α ( 0 < α < π 2 ) , 则α ∈ ( ) (A) ( 0, π 6 ) (B) (π 6 , π 4 ) (C) (π 4 , π 3 ) (D) (π 3 , π 2 ) 5分
11. 11. 在函数y = x3 −8x 的图象上, 其切线的倾斜角小于π 4 的点中, 坐标为整 数的点的个数是 ( ) 5分
    A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
12. 12. 某初级中学有学生270 人, 其中一年级108 人, 二、三年级各81 人, 现要 利用抽样方法抽取10 人参加某项调查, 考虑选用简单随机抽样、分层抽样 和系统抽样三种方案, 使用简单随机抽样和分层抽样时, 将学生按一、二、 三年级依次统一编号为1, 2, · · · , 270; 使用系统抽样时, 将学生统一随机编 号1, 2, · · · , 270, 并将整个编号依次分为10 段. 如果抽得号码有下列四种 情况: ①7, 34, 61, 88, 115, 142, 169, 196, 223, 250; ②5, 9, 100, 107, 111, 121, 180, 195, 200, 265; ③11, 38, 65, 92, 119, 146, 173, 200, 227, 254; ④30, 57, 84, 111, 138, 165, 192, 219, 246, 270; 关于上述样本的下列结论中, 正确的是 ( ) 5分
    A. ②、③都不能为系统抽样 B. ②、④都不能为分层抽样 C. ①、④都可能为系统抽样 D. ①、③都可能为分层抽样

填空题（每题 5 分）（共 4 题）

1. 1. 函数f(x) = √x −2 x −3 lg √4 −x 的定义域是 . 5分
2. 2. ( x3 −2 x )4 + ( x + 1 x )8 的展开式中整理后的常数项等于 . 5分
3. 3. 函数y = | sin x| cos x −1 的最小正周期与最大值的和为 . 5分
4. 4. 某实验室需购某种化工原料106 千克, 现在市场上该原料有两种包装, 一 种是每袋35 千克, 价格为140 元; 另一种是每袋24 千克, 价格为120 元. 在满足需要的条件下, 最少要花费 元. 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 已知向量#»a = (x2, x + 1), #»b = (1 −x, t), 若函数f(x) = #»a · #»b 在区间 (−1, 1) 上是增函数, 求t 的取值范围.
2. 2. 在△ABC 中, 已知tan B = √ 3, cos C = 1 3, AC = 3 √ 6, 求△ABC 的面 积. 232
3. 3. 设数列{an} 的前n 项和为Sn = 2n2, {bn} 为等比数列, 且a1 = b1, b2(a2 −a1) = b1. (1) 求数列{an} 和{bn} 的通项公式; (2) 设cn = an bn , 求数列{cn} 的前n 项和Tn.
4. 4. 如图所示的多面体是由底面为ABCD 的长方体被截面AEC1F 所截面而 得到的, 其中AB = 4, BC = 2, CC1 = 3, BE = 1. (1) 求BF 的长; (2) 求点C 到平面AEC1F 的距离. D A B C C1 E F
5. 5. 某会议室用5 盏灯照明, 每盏灯各使用灯泡一只, 且型号相同. 假定每盏灯 能否正常照明只与灯泡的寿命有关, 该型号的灯泡寿命为1 年以上的概率 为p1, 寿命为2 年以上的概率为p2. 从使用之日起每满1 年进行一次灯泡 更换工作, 只更换已坏的灯泡, 平时不换. (1) 在第一次灯泡更换工作中, 求不需要换灯泡的概率和更换2 只灯泡的 概率; (2) 在第二次灯泡更换工作中, 对其中的某一盏灯来说, 求该盏灯需要更换 灯泡的概率; (3) 当p1 = 0.8, p2 = 0.3 时, 求在第二次灯泡更换工作, 至少需要更换4 只灯泡的概率. (结果保留两个有效数字)
6. 6. 设A、B 是椭圆3x2 + y2 = λ 上的两点, 点N(1, 3) 是线段AB 的中点, 线段AB 的垂直平分线与椭圆相交于C、D 两点. (1) 确定λ 的取值范围, 并求直线AB 的方程; (2) 试判断是否存在这样的λ, 使得A、B、C、D 四点在同一个圆上? 并 说明理由. 233

原卷配图（含真实几何/应用题图示）