本卷为官方高考数学真题（2005年湖北（理科）），共 22 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。
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1. 设P、Q 为两个非空实数集合, 定义集合P + Q = {a + b | a ∈P, b ∈Q},
若P = {0, 2, 5}, Q = {1, 2, 6}, 则P + Q 中元素的个数是
(
) 5分
A. 9
B. 8
C. 7
D. 6
-
2. 对任意实数a, b, c, 给出下列命题:
①“a = b”是“ac = bc”充要条件;
②“a + 5 是无理数”是“a 是无理数”的充要条件;
③“a > b”是“a2 > b2”的充分条件;
④“a < 5”是“a < 3”的必要条件.
其中真命题的个数是
(
) 5分
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
-
3. (1 −i)(1 + 2i)
1 + i
=
(
) 5分
A. −2 −i
B. −2 + i
C. 2 −i
D. 2 + i
-
4. 函数y = e| ln x| −|x −1| 的图象大致是
(
)
(A)
x
1
1
y
O
(B)
x
1
1
y
O
(C)
x
1
1
y
O
(D)
x
1
1
y
O 5分
-
5. 双曲线x2
m −y2
n = 1 (mn̸ = 0) 离心率为2, 有一个焦点与抛物线y2 = 4x
的焦点重合, 则mn 的值为
(
)
16
8
3
3 5分
A. 3
B. 3
C. 16
D. 8
-
6. 在y = 2x, y = log2x, y = x2, y = cos 2x 这四个函数中, 当0 < x1 < x2 < 1
时, 使f
(x1 + x2
2
)
> f(x1) + f(x2)
2
恒成立的函数的个数是
(
) 5分
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
-
7. 若sin α + cos α = tan α
(
0 < α < π
2
)
, 则α ∈
(
)
(A)
(
0, π
6
)
(B)
(π
6 , π
4
)
(C)
(π
4 , π
3
)
(D)
(π
3 , π
2
) 5分
-
8. 若lim
x→1
(
a
1 −x −
b
1 −x2
)
= 1, 则常数a, b 的值为
(
) 5分
A. a = −2, b = 4
B. a = 2, b = −4
C. a = −2, b = −4
D. a = 2, b = 4
-
9. 若0 < x < π
2 , 则2x 与3 sin x 的大小关系
(
) 5分
A. 2x > 3 sin x
B. 2x < 3 sin x
C. 2x = 3 sin x
D. 与x 的取值有关
-
10. 如图, 在三棱柱ABC −A′B′C′ 中, 点E、F、H、K 分别为AC′、CB′、
A′B、B′C′ 的中点, G 为△ABC 的重心. 从K、H、G、B′ 中取一点作
为P, 使得该棱柱恰有2 条棱与平面PEF 平行, 则P 为
(
)
A′
B′
C′
A
B
C
E
H
K
G
F
•
•
•
•
• 5分
A. K
B. H
C. G
D. B′
-
11. 某初级中学有学生270 人, 其中一年级108 人, 二、三年级各81 人, 现要
利用抽样方法抽取10 人参加某项调查, 考虑选用简单随机抽样、分层抽样
和系统抽样三种方案, 使用简单随机抽样和分层抽样时, 将学生按一、二、
三年级依次统一编号为1, 2, · · · , 270; 使用系统抽样时, 将学生统一随机编
号1, 2, · · · , 270, 并将整个编号依次分为10 段. 如果抽得号码有下列四种
情况:
①7, 34, 61, 88, 115, 142, 169, 196, 223, 250;
②5, 9, 100, 107, 111, 121, 180, 195, 200, 265;
③11, 38, 65, 92, 119, 146, 173, 200, 227, 254;
④30, 57, 84, 111, 138, 165, 192, 219, 246, 270;
关于上述样本的下列结论中, 正确的是
(
) 5分
A. ②、③都不能为系统抽样
B. ②、④都不能为分层抽样
C. ①、④都可能为系统抽样
D. ①、③都可能为分层抽样
-
12. 以平行六面体ABCD −A′B′C′D′ 的任意三个顶点为顶点作三角形, 从中
随机取出两个三角形, 则这两个三角形不共面的概率p 为
(
)
385
385
385
385 5分
A. 367
B. 376
C. 192
D. 18
-
1. 已知向量#»a = (x2, x + 1), #»b = (1 −x, t), 若函数f(x) = #»a · #»b 在区间
(−1, 1) 上是增函数, 求t 的取值范围.
-
2. 在△ABC 中, 已知AB = 4
√
6
3 , cos B =
√
6
6 , AC 边上的中线BD =
√
5,
求sin A 的值.
230
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3. 某地最近出台一项机动车驾照考试规定: 每位考试者一年之内最多有4 次
参加考试的机会, 一旦某次考试通过, 使可领取驾照, 不再参加以后的考试,
否则就一直考到第4 次为止. 如果李明决定参加驾照考试, 设他每次参加
考试通过的概率依次为0.6, 0.7, 0.8, 0.9, 求在一年内李明参加驾照考试次
数ξ 的分布列和ξ 的期望, 并求李明在一年内领到驾照的概率.
-
4. 如图, 在四棱锥P −ABCD 中, 底面ABCD 为矩形, 侧棱PA ⊥底面
ABCD, AB =
√
3, BC = 1, PA = 2, E 为PD 的中点.
(1) 求直线AC 与PB 所成角的余弦值;
(2) 在侧面PAB 内找一点N, 使NE ⊥面PAC, 并求出N 点到AB 和
AP 的距离.
D
A
B
C
E
P
•
-
5. 设A、B 是椭圆3x2 + y2 = λ 上的两点, 点N(1, 3) 是线段AB 的中点,
线段AB 的垂直平分线与椭圆相交于C、D 两点.
(1) 确定λ 的取值范围, 并求直线AB 的方程;
(2) 试判断是否存在这样的λ, 使得A、B、C、D 四点在同一个圆上? 并
说明理由.
-
6. 已知不等式1
2+1
3+· · ·+ 1
n > 1
2[log2n], 其中n 为大于2 的整数, [log2n] 表示
不超过log2n 的最大整数. 设数列{an} 的各项为正, 且满足a1 = b (b > 0),
an ⩽
nan−1
n + an−1
, n = 2, 3, 4, · · · .
(1) 证明: an <
2b
2 + b[log2n], n = 3, 4, 5, · · · ;
(2) 猜测数列{an} 是否有极限? 如果有, 写出极限的值(不必证明);
(3) 试确定一个正整数N, 使得当n > N 时, 对任意b > 0, 都有an < 1
5.
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