2005年湖南（文科）

本卷为官方高考数学真题（2005年湖南（文科）），共 21 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 10 题）

1. 1. 设全集U = {−2, −1, 0, 1, 2}, A = {−2, −1, 0}, B = {0, 1, 2}, 则 (∁UA) ∩B = ( ) 5分
   A. {0} B. {−2, −1} C. {1, 2} D. {0, 1, 2}
2. 2. tan 600◦的值是 ( ) √ 3 3 (B) √ 3 3 √ 3 (D) √ 3 5分
   A. − C. −
3. 3. 函数f(x) = √1 −2x 的定义域是 ( ) 5分
   A. (−∞, 0] B. [0, +∞) C. (−∞, 0) D. (−∞, +∞)
4. 4. 如图, 正方体ABCD −A1B1C1D1 的棱长为1, E 是A1B1 的中点, 则E 到平面ABC1D1 的距离为 ( ) A1 B1 C1 A B C E D D1 • (A) √ 3 2 (B) √ 2 2 2 (D) √ 3 3 5分
   C. 1
5. 5. 已知数列{an} 满足a1 = 0, an+1 = an − √ 3 √ 3an + 1 (n ∈N∗), 则a20= ( ) √ 3 (C) √ 3 (D) √ 3 2 5分
   A. 0 B. −
6. 6. 设集合A = { x  x −1 x + 1 < 0 } , B = {x | |x −1| < a}, 则“a = 1”是 “A ∩B̸ = ∅”的 ( ) 5分
   A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
7. 7. 设直线的方程是Ax + By = 0, 从1, 2, 3, 4, 5 这五个数中每次取两个不同 的数作为A、B 的值, 则所得不同直线的条数是 ( ) 5分
   A. 20 B. 19 C. 18 D. 16
8. 8. 已知双曲线x2 a2 −y2 b2 = 1 (a > 0, b > 0) 的右焦点为F, 右准线与一条渐近 线交于点A, △OAF 的面积为a2 2 (O 为原点), 则两条渐近线的夹角为( ) 5分
   A. 30◦ B. 45◦ C. 60◦ D. 90◦
9. 9. P 是△ABC 所在平面上一点, 若# » PA · # » PB = # » PB · # » PC = # » PC · # » PA, 则P 是△ABC 的 ( ) 5分
   A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心
10. 10. 某公司在甲、乙两地销售一种品牌车, 利润(单位: 万元) 分别为L1 = 5.06x −0.15x2 和L2 = 2x, 其中x 为销售量(单位: 辆). 若该公司在这两 地共销售15 辆车, 则能获得的最大利润为 ( ) 5分
    A. 45.606 B. 45.6 C. 45.56 D. 45.51

填空题（每题 5 分）（共 5 题）

1. 1. 设直线2x + 3y + 1 = 0 和圆x2 + y2 −2x −3 = 0 相交于点A、B, 则弦 AB 的垂直平分线方程是 . 5分
2. 2. 一工厂生产了某种产品16800 件, 它们来自甲、乙、丙3 条生产线, 为检查 这批产品的质量, 决定采用分层抽样的方法进行抽样, 已知甲、乙、丙三条 生产线抽取的个体数组成一个等差数列, 则乙生产线生产了 件产品. 5分
3. 3. 在(1 + x) + (1 + x)2 + · · · + (1 + x)6 的展开式中, x2 项的系数是 . (用数字作答) 5分
4. 4. 设函数f(x) 的图象关于点(1, 2) 对称, 且存在反函数f −1(x), f(4) = 0, 则 . 5分
   F. −1(4) =
5. 5. 已知平面α, β 和直线, 给出条件: ①m α; ②m ⊥α; ③m ⊂α; ④α ⊥β; ⑤α β. (1) 当满足条件 时, 有m β; (2) 当满足条件 时, 有m ⊥β. (填所选条件的序号) 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 已知数列{log2(an −1)} (n ∈N∗) 为等差数列, 且a1 = 3, a3 = 9. (1) 求数列{an} 的通项公式; (2) 证明: 1 a2 −a1 + 1 a3 −a2 + · · · + 1 an+1 −an < 1.
2. 2. 已知在△ABC 中, sin A(sin B + cos B) −sin C = 0, sin B + cos 2C = 0, 求角A、B、C 的大小.
3. 3. 如图1, 已知ABCD 是上、下底边长分别为2 和6, 高为 √ 3 的等腰梯形, 将它沿对称轴OO1 折成直二面角, 如图2. (1) 证明: AC ⊥BO1; (2) 求二面角O −AC −O1 的大小. A B C O 图1 D O1 A B C O D O1 图2 236
4. 4. 设t̸ = 0, 点P(t, 0) 是函数f(x) = x3 + ax 与g(x) = bx2 + c 的图象的一 个公共点, 两函数的图象在点P 处有相同的切线. (1) 用t 表示a, b, c; (2) 若函数y = f(x) −g(x) 在(−1, 3) 上单调递减, 求t 的取值范围.
5. 5. 某单位组织4 个部门的职工旅游, 规定每个部门只能在韶山、衡山、张家 界3 个景区中任选一个, 假设各部门选择每个景区是等可能的. (1) 求3 个景区都有部门选择的概率; (2) 求恰有2 个景区有部门选择的概率.
6. 6. 已知椭圆C: x2 a2 + y2 b2 = 1 (a > b > 0) 的左、右焦点为F1、F2, 离心率为 AM = λ# » AB. (1) 证明: λ = 1 −e2; (2) 若λ = 3 4, △PF1F2 的周长为6; 写出椭圆C 的方程; (3) 确定λ 的值, 使得△PF1F2 是等腰三角形. 237

原卷配图（含真实几何/应用题图示）