2005年湖南（理科）

本卷为官方高考数学真题（2005年湖南（理科）），共 21 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 10 题）

1. 1. 复数z = i + i2 + i3 + i4 的值是 ( ) 5分
   A. −1 B. 0 C. 1 D. i
2. 2. 函数f(x) = √1 −2x 的定义域是 ( ) 5分
   A. (−∞, 0] B. [0, +∞) C. (−∞, 0) D. (−∞, +∞)
3. 3. 已知数列{log2(an −1)} (n ∈N∗) 为等差数列, 且a1 = 3, a2 = 5, 则 lim n→∞ ( 1 a2 −a1 + 1 a3 −a2 + · · · + 1 an+1 −an ) = ( ) 2 2 5分
   A. 2 B. 3 C. 1 D. 1
4. 4. 已知点P(x, y) 在不等式组        x −2 ⩽0, y −1 ⩽0, x + 2y −2 ⩾0 表示的平面区域上运动, 则 z = x −y 的取值范围是 ( ) 5分
   A. [−2, −1] B. [−2, 1] C. [−1, 2] D. [1, 2]
5. 5. 如图, 正方体ABCD −A1B1C1D1 的棱长为1, O 是底面A1B1C1D1 的中 心, 则O 到平面ABC1D1 的距离为 ( ) A1 B1 C1 A B C O D D1 • 2 (B) √ 2 4 (C) √ 2 2 (D) √ 3 2 5分
   A. 1
6. 6. 设f0(x) = sin x, f1(x) = f ′ 0(x), f2(x) = f ′ 1(x), · · · , fn+1(x) = f ′ n(x), n ∈N, 则f2005(x) = ( ) 5分
   A. sin x B. −sin x C. cos x D. −cos x
7. 7. 已知双曲线x2 a2 −y2 b2 = 1 (a > 0, b > 0) 的右焦点为F, 右准线与一条渐近 线交于点A, △OAF 的面积为a2 2 (O 为原点), 则两条渐近线的夹角为( ) 5分
   A. 30◦ B. 45◦ C. 60◦ D. 90◦
8. 8. 集合A = { x  x −1 x + 1 < 0 } , B = {x | |x −b| < a}, 若“a = 1”是“A ∩B̸ = ∅”的充分条件, 则b 的取值范围是 ( ) 5分
   A. −2 ⩽b < 0 B. 0 < b ⩽2 C. −3 < b < −1 (D) −1 ⩽b < 2
9. 9. 4 位同学参加某种形式的竞赛, 竞赛规则规定: 每位同学必须从甲. 乙两道 题中任选一题作答, 选甲题答对得100 分, 答错得−100 分; 选乙题答对得 90 分, 答错得−90 分. 若4 位同学的总分为0, 则这4 位同学不同得分情 况的种数是 ( ) 5分
   A. 48 B. 36 C. 24 D. 18
10. 10. 设P 是△ABC 内任意一点, S△ABC 表示△ABC 的面积, λ1 = S△P BC S△ABc , λ2 = S△P CA S△ABC , λ3 = S△P AB S△ABC , 定义f(P) = (λ1, λ2, λ3), 若G 是△ABC 的 重心, f(Q) = (1 2, 1 3, 1 6 ) , 则 ( ) 5分
    A. 点Q 在△GAB 内 B. 点Q 在△GBC 内 C. 点Q 在△GCA 内 D. 点Q 与点G 重合

填空题（每题 5 分）（共 5 题）

1. 1. 一工厂生产了某种产品16800 件, 它们来自甲、乙、丙3 条生产线, 为检查 这批产品的质量, 决定采用分层抽样的方法进行抽样, 已知甲、乙、丙三条 生产线抽取的个体数组成一个等差数列, 则乙生产线生产了 件产品. 5分
2. 2. 在(1 + x) + (1 + x)2 + · · · + (1 + x)6 的展开式中, x2 项的系数是 . (用数字作答) 5分
3. 3. 已知直线ax + by + c = 0 与圆O : x2 + y2 = 1 相交于A、B 两点, 且 |AB| = √ 3, 则# » OA · # » OB = . 5分
4. 4. 设函数f(x) 的图象关于点(1, 2) 对称, 且存在反函数f −1(x), f(4) = 0, 则 . 5分
   F. −1(4) =
5. 5. 设函数f(x) 的图象与直线x = a, x = b 及x 轴所围成图形的面积称为函 数f(x) 在[a, b] 上的面积, 已知函数y = sin nx 在 [ 0, π n ] 上的面积为2 n (n ∈N∗). (1) y = sin 3x 在 [ 0, 2π 3 ] 上的面积为 ; (2) y = sin(3x −π) + 1 在 [π 3 , 4π 3 ] 上的面积为 . 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 已知在△ABC 中, sin A(sin B + cos B) −sin C = 0, sin B + cos 2C = 0, 求角A、B、C 的大小.
2. 2. 如图1, 已知ABCD 是上、下底边长分别为2 和6, 高为 √ 3 的等腰梯形, 将它沿对称轴OO1 折成直二面角, 如图2. (1) 证明: AC ⊥BO1; (2) 求二面角O −AC −O1 的大小. A B C O 图1 D O1 A B C O D O1 图2
3. 3. 某城市有甲、乙、丙3 个旅游景点, 一位客人游览这三个景点的概率分别 是0.4, 0.5, 0.6, 且客人是否游览哪个景点互不影响, 设ξ 表示客人离开该 城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值. (1) 求ξ 的分布及数学期望; (2) 记“函数f(x) = x2 −3ξx + 1 在区间[2, +∞) 上单调递增”为事件A, 求 事件A 的概率. 234
4. 4. 已知椭圆C: x2 a2 + y2 b2 = 1 (a > b > 0) 的左、右焦点为F1、F2, 离心率为 AM = λ# » AB. (1) 证明: λ = 1 −e2; (2) 确定λ 的值, 使得△PF1F2 是等腰三角形.
5. 5. 自然状态下的鱼类是一种可再生资源, 为持续利用这一资源, 需从宏观上 考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响. 用xn 表示某鱼群在第n 年年初的总量, n ∈N∗, 且x1 > 0. 不考虑其它因素, 设在第n 年内鱼群的 繁殖量及捕捞量都与xn 成正比, 死亡量与x2 n 成正比, 这些比例系数依次 为正常数a, b, c. (1) 求xn+1 与xn 的关系式; (2) 猜测: 当且仅当x1, a, b, c 满足什么条件时, 每年年初鱼群的总量保持 不变? (不要求证明) (3) 设a = 2, b = 1, 为保证对任意x1 ∈(0, 2), 都有xn > 0, n ∈N∗, 则捕 捞强度b 的最大允许值是多少? 证明你的结论.
6. 6. 已知函数f(x) = ln x, g(x) = 1 2ax2 + bx, a̸ = 0. (1) 若b = 2, 且h(x) = f(x) −g(x) 存在单调递减区间, 求a 的取值范围; (2) 设函数f(x) 的图象C1 与函数g(x) 图象C2 交于点P、Q, 过线段PQ 的中点作x 轴的垂线分别交C1, C2 于点M、N, 证明C1 在点M 处的切 线与C2 在点N 处的切线不平行. 235

原卷配图（含真实几何/应用题图示）