2005年福建（文科）

本卷为官方高考数学真题（2005年福建（文科）），共 22 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 12 题）

1. 1. 已知集合P = {x | |x −1| ⩽1, x ∈R}, 集合Q = {x | x ∈N}, 则P ∩Q 等于 ( ) 5分
   A. P B. Q C. {1, 2} D. {0, 1, 2}
2. 2. 不等式2x −1 3x + 1 > 0 的解集是 ( ) (A) { x  x < −1 3 或x > 1 2 } (B) { x  −1 3 < x < 1 2 } (C) { x  x > 1 2 } (D) { x  x > −1 3 } 5分
3. 3. 已知等差数列{an} 中, a7 + a9 = 16, a4 = 1, 则a12 的值是 ( ) 5分
   A. 15 B. 30 C. 31 D. 64
4. 4. 函数y = cos 2x 在下列哪个区间上是减函数 ( ) (A) [ −π 4 , π 4 ] (B) [π 4 , 3π 4 ] (C) [ 0, π 2 ] (D) [π 2 , π ] 5分
5. 5. 下列结论正确的是 ( ) 1 lg x ⩾2 √x ⩾2 x 的最小值为2 x 无最大值 5分
   A. 当x > 0 且x̸ = 1 时, lg x + B. 当x > 0 时, √x + 1 C. 当x ⩾2 时, x + 1 D. 当0 < x ⩽2 时, x −1
6. 6. 若函数f(x) = ax−b 的图象如图, 其中a、b 为常数, 则下列结论正确的 是 ( ) x 1 −1 1 2 y O 5分
   A. a > 1, b < 0 B. a > 1, b > 0 C. 0 < a < 1, b > 0 D. 0 < a < 1, b < 0
7. 7. 已知直线m、n 与平面α, β, 给出下列三个命题: ①若m α, n α, 则m n; ②若m α, n ⊥α, 则n ⊥m; ③若m ⊥α, m β, 则α ⊥β. 其中真命题的个数是 ( ) 5分
   A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
8. 8. 已知p: a̸ = 0, q: ab̸ = 0, 则p 是q 的 ( ) 5分
   A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
9. 9. 已知定点A、B 且|AB| = 4, 动点P 满足|PA| −|PB| = 3, 则|PA| 的 最小值是 ( ) 2 2 2 5分
   A. 1 B. 3 C. 7 D. 5
10. 10. 从6 人中选4 人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览, 要求每 个城市有一人游览, 每人只游览一个城市, 且这6 人中甲、乙两人不去巴黎 游览, 则不同的选择方案共有 ( ) 5分
    A. 300 种 B. 240 种 C. 144 种 D. 96 种
11. 11. 如图, 长方体ABCD −A1B1C1D1 中, AA1 = AB = 2, AD = 1, 点E、 是 ( ) A B C D E G F A1 B1 C1 D1 √ 15 5 4 √ 10 5 2 5分
    F. G 分别是DD1、AB、CC1 的中点, 则异面直线A1E 与GF 所成的角 A. arccos B. π C. arccos D. π
12. 12. f(x) 是定义在R 上的以3 为周期的偶函数, 且f(2) = 0, 则方程f(x) = 0 在区间(0, 6) 内解的个数的最小值是 ( ) 5分
    A. 5 B. 4 C. 3 D. 2

填空题（每题 5 分）（共 4 题）

1. 1. ( 2√x −1 x )6 展开式中的常数项是 . (用数字作答) 5分
2. 2. 在△ABC 中, ∠C = 90◦, # » AB = (k, 1), # » AC = (2, 3), 则k 的值是 . 5分
3. 3. 非负实数x, y 满足 { 2x + y ⩽0, x + y −3 ⩽0, 则x + 3y 的最大值为 . 5分
4. 4. 把下面不完整的命题补充完整, 并使之成为真命题: 若函数f(x) = 3 + log2x 的图象与g(x) 的图象关于 对称, 则函数 g(x) = . 注: 填上你认为可以成为真命题的一件情形即可, 不必考虑所有可能的情 形. 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 已知−π 2 < x < 0, sin x + cos x = 1 5. (1) 求sin x −cos x 的值; (2) 求sin 2x + 2sin2x 1 −tan x 的值.
2. 2. 甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别为1 2 与2 5, 投中得1 分, 投不中 得0 分. (1) 甲、乙两人在罚球线各投球一次, 求两人得分之和ξ 的数学期望; (2) 甲、乙两人在罚球线各投球二次, 求这四次投球中至少一次命中的概率. 226
3. 3. 已知{an} 是公比为q 的等比数列, 且a1, a3, a2 成等差数列. (1) 求q 的值; (2) 设{bn} 是以2 为首项, q 为公差的等差数列, 其前n 项和为Sn, 当 n ⩾2 时, 比较Sn 与bn 的大小, 并说明理由.
4. 4. 已知函数f(x) = x3 + bx2 + ax + d 的图象过点P(0, 2), 且在点 M(−1, f(−1)) 处的切线方程为6x −y + 7 = 0. (1) 求函数y = f(x) 的解析式; (2) 求函数y = f(x) 的单调区间.
5. 5. 如图, 直二面角D −AB −E 中, 四边形ABCD 是边长为2 的正方形, AE = EB, F 为CE 上的点, 且BF ⊥平面ACE. (1) 求证AE ⊥平面BCE; (2) 求二面角B −AC −E 的大小; (3) 求点D 到平面ACE 的距离. A B C E D F
6. 6. 已知方向向量为#»v = (1, √ 3) 的直线l 过点(0, −2 √ 3) 和椭圆C: x2 a2 + y2 b2 = 1 (a > b > 0) 的焦点, 且椭圆C 的中心关于直线l 的对称 点在椭圆C 的右准线上. (1) 求椭圆C 的方程; (2) 是否存在过点E(−2, 0) 的直线m 交椭圆C 于点M、N, 满足 # » OM · # » ON = 4 3 √ 6 cot ∠MON̸ = 0 (O 为原点). 若存在, 求直线m 的 方程; 若不存在, 请说明理由. 227

原卷配图（含真实几何/应用题图示）