2005年福建（理科）

本卷为官方高考数学真题（2005年福建（理科）），共 22 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 12 题）

1. 1. 复数z = 1 1 −i 的共轭复数是 ( ) 2 + 1 2i 2 −1 2i 5分
   A. 1 B. 1 C. 1 −i D. 1 + i
2. 2. 已知等差数列{an} 中, a7 + a9 = 16, a4 = 1, 则a12 的值是 ( ) 5分
   A. 15 B. 30 C. 31 D. 64
3. 3. 在△ABC 中, ∠C = 90◦, # » AB = (k, 1), # » AC = (2, 3), 则k 的值是 ( ) 2 2 5分
   A. 5 B. −5 C. 3 D. −3
4. 4. 已知直线m、n 与平面α, β, 给出下列三个命题: ①若m α, n α, 则m n; ②若m α, n ⊥α, 则n ⊥m; ③若m ⊥α, m β, 则α ⊥β. 其中真命题的个数是 ( ) 5分
   A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
5. 5. 若函数f(x) = ax−b 的图象如图, 其中a、b 为常数, 则下列结论正确的 是 ( ) x 1 −1 1 2 y O 5分
   A. a > 1, b < 0 B. a > 1, b > 0 C. 0 < a < 1, b > 0 D. 0 < a < 1, b < 0
6. 6. 若函数y = sin(ωx + φ) (x ∈R, ω > 0, 0 ⩽φ < 2π) 的部分图象如图, 则 ( ) x 1 3 1 y O 2 , φ = π 4 3 , φ = π 6 4 , φ = π 4 4 , φ = 5π 4 5分
   A. ω = π B. ω = π C. ω = π D. ω = π
7. 7. 已知p: |2x −3| < 1, q: x(x −3) < 0, 则p 是q 的 ( ) 5分
   A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
8. 8. 如图, 长方体ABCD −A1B1C1D1 中, AA1 = AB = 2, AD = 1, 点E、 是 ( ) A B C D E G F A1 B1 C1 D1 √ 15 5 4 √ 10 5 2 5分
   F. G 分别是DD1、AB、CC1 的中点, 则异面直线A1E 与GF 所成的角 A. arccos B. π C. arccos D. π
9. 9. 从6 人中选4 人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览, 要求每 个城市有一人游览, 每人只游览一个城市, 且这6 人中甲、乙两人不去巴黎 游览, 则不同的选择方案共有 ( ) 5分
   A. 300 种 B. 240 种 C. 144 种 D. 96 种
10. 10. 已知F1、F2 是双曲线x2 a2 −y2 b2 = 1 (a > 0, b > 0) 的两焦点, 以线段F1F2 为边作正三角形MF1F2, 若边MF1 的中点在双曲线上, 则双曲线的离心 率是 ( ) √ 3 (B) √ 3 −1 (C) √ 3 + 1 2 (D) √ 3 + 1 5分
    A. 4 + 2
11. 11. 设a, b ∈R, a2 + 2b2 = 6, 则a + b 的最小值是 ( ) √ 2 √ 3 3 2 5分
    A. −2 B. −5 C. −3 D. −7
12. 12. f(x) 是定义在R 上的以3 为周期的奇函数, 且f(2) = 0, 则方程f(x) = 0 在区间(0, 6) 内解的个数的最小值是 ( ) 5分
    A. 2 B. 3 C. 5 D. 7

填空题（每题 5 分）（共 4 题）

1. 1. ( 2√x −1 x )6 展开式中的常数项是 . (用数字作答) 5分
2. 2. 非负实数x, y 满足 { 2x + y ⩽0, x + y −3 ⩽0, 则x + 3y 的最大值为 . 5分
3. 3. 若常数b 满足|b| > 1, 则lim n→∞ 1 + b + b2 + · · · + bn−1 bn = . 5分
4. 4. 把下面不完整的命题补充完整, 并使之成为真命题: 若函数f(x) = 3 + log2x 的图象与g(x) 的图象关于 对称, 则函数 g(x) = . 注: 填上你认为可以成为真命题的一件情形即可, 不必考虑所有可能的情 形. 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 已知−π 2 < x < 0, sin x + cos x = 1 5. (1) 求sin x −cos x 的值; (2) 求 3sin2 x 2 −2 sin x 2 cos x 2 + cos2 x 2 tan x + cot x 的值.
2. 2. 甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别为1 2 与2 5, 投中得1 分, 投不中 得0 分. (1) 甲、乙两人在罚球线各投球一次, 求两人得分之和ξ 的数学期望; (2) 甲、乙两人在罚球线各投球二次, 求这四次投球中至少一次命中的概率; 224
3. 3. 已知函数f(x) = ax −6 x2 + b 的图象在点M(−1, f(x)) 处的切线方程为 x + 2y + 5 = 0. (1) 求函数y = f(x) 的解析式; (2) 求函数y = f(x) 的单调区间.
4. 4. 如图, 直二面角D −AB −E 中, 四边形ABCD 是边长为2 的正方形, AE = EB, F 为CE 上的点, 且BF ⊥平面ACE. (1) 求证AE ⊥平面BCE; (2) 求二面角B −AC −E 的大小; (3) 求点D 到平面ACE 的距离. A B C E D F
5. 5. 已知方向向量为#»v = (1, √ 3) 的直线l 过点(0, −2 √ 3) 和椭圆C: x2 a2 + y2 b2 = 1 (a > b > 0) 的焦点, 且椭圆C 的中心关于直线l 的对 称点在椭圆C 的右准线上. (1) 求椭圆C 的方程; (2) 是否存在过点E(−2, 0) 的直线m 交椭圆C 于点M、N, 满足 # » OM · # » ON = 4 3 √ 6 cot ∠MON̸ = 0 (O 为原点). 若存在, 求直线m 的方程; 若不存在, 请说明理由.
6. 6. 已知数列{an} 满足a1 = a, an+1 = 1 + 1 an . 我们知道当a 取不同的值时, 得到不同的数列, 如当a = 1 时, 得到无穷数列: 1, 2, 3 2, 5 3, · · · ; 当a = −1 2 时, 得到有穷数列: −1 2, −1, 0. (1) 求当a 为何值时a4 = 0; (2) 设数列{bn} 满足b1 = −1, bn+1 = 1 bn −1 (n ∈N+), 求证a 取数列 {bn} 中的任一个数, 都可以得到一个有穷数列{an}; (3) 若3 2 < an < 2 (n ⩾4), 求a 的取值范围. 225

原卷配图（含真实几何/应用题图示）