2005年辽宁

本卷为官方高考数学真题（2005年辽宁），共 22 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 12 题）

1. 1. 复数z = −1 + i 1 + i −1 在复平面内, z 所对应的点在 ( ) 5分
   A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2. 2. 极限lim x→x0f(x) 存在是函数f(x) 在点x = x0 处连续的 ( ) 5分
   A. 充分而不必要的条件 B. 必要而不充分的条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要的条件
3. 3. 设袋中有80 个红球, 20 个白球, 若从袋中任取10 个球, 则其中恰有6 个 红球的概率为 ( ) 80 · C6 10 C10 100 80 · C4 10 C10 100 80 · C6 20 C10 100 80 · C4 20 C10 100 5分
   A. C4 B. C6 C. C4 D. C6
4. 4. 已知m、n 是两条不重合的直线, α、β、γ 是三个两两不重合的平面, 给出 下列四个命题: ①若m ⊥α, m ⊥β, 则α β; ②若α ⊥γ, β ⊥α, 则α β; ③若m ⊂α, n ⊂β, m n, 则α β; ④若m、n 是异面直线, m ⊂α, m β, n ⊂β, n α, 则α β. 其中真命题是 ( ) 5分
   A. ①和② B. ①和③ C. ③和④ D. ①和④
5. 5. 函数y = ln ( x + √ x2 + 1 ) 的反函数是 ( ) 2 2 2 2 5分
   A. y = ex + e−x B. y = −ex + e−x C. y = ex −e−x D. y = −ex −e−x
6. 6. 若log2a 1 + a2 1 + a < 0, 则a 的取值范围是 ( ) (A) (1 2, +∞ ) (C) (1 2, 1 ) (D) ( 0, 1 2 ) 5分
   B. (1, +∞)
7. 7. 在R 上定义运算⊗: x ⊗y = x(1 −y). 若不等式(x −a) ⊗(x + a) < 1 对 任意实数x 成立, 则 ( ) 2 < a < 3 2 2 < a < 1 2 5分
   A. −1 < a < 1 B. 0 < a < 2 C. −1 D. −3
8. 8. 若钝角三角形三内角的度数成等差数列, 且最大边长与最小边长的比值为 m, 则m 的范围是 ( ) 5分
   A. (1, 2) B. (2, +∞) C. [3, +∞) D. (3, +∞)
9. 9. 若直线2x −y + c = 0 按向量#»a = (1, −1) 平移后与圆x2 + y2 = 5 相切, 则c 的值为 ( ) 5分
   A. 8 或−2 B. 6 或−4 C. 4 或−6 D. 2 或−8
10. 10. 已知y = f(x) 是定义在R 上的单调函数, 实数x1̸ = x2, λ̸ = −1, α = x1 + λx2 1 + λ , β = x2 + λx1 1 + λ , 若|f(x1) −f(x2)| < |f(α) −f(β)|, 则( ) 5分
    A. λ < 0 B. λ = 0 C. 0 < λ < 1 D. λ ⩾1
11. 11. 已知双曲线的中心在原点, 离心率为 √ 3. 若它的一条准线与抛物线 y2 = 4x 的准线重合, 则该双曲线与抛物线y2 = 4x 的交点到原点的距 离是 ( ) √ 3+ √ 6 (B) √ 21 √ 2 5分
    A. 2 C. 18 + 12 D. 21
12. 12. 一给定函数y = f(x) 的图象在下列图中, 并且对任意a1 ∈(0, 1), 由关系 式an+1 = f(an) 得到的数列{an} 满足an+1 > an (n ∈N∗), 则该函数的 图象是 ( ) (A) x 1 1 y O (B) x 1 1 y O (C) x 1 1 y O (D) x 1 1 y O 5分

填空题（每题 5 分）（共 4 题）

1. 1. ( x 1 2 −2x−1 2 )n 的展开式中常数项是 . 5分
2. 2. 如图, 正方体的棱长为1, C、D 分别是两条棱的中点, A、B、M 是顶点, 那么点M 到截面ABCD 的距离是 . M A B C D 5分
3. 3. 用1、2、3、4、5、6、7、8 组成没有重复数字的八位数, 要求1 和2 相邻, 3 与4 相邻, 5 与6 相邻, 而7 与8 不相邻, 这样的八位数共有 个. (用数字作答) 5分
4. 4. ω 是正实数, 设Sω = {θ | f(x) = cos[ω(x + θ)] 是奇函数}, 若对每个实数 a, Sω ∩(a, a + 1) 的元素不超过2 个, 且有a 使Sω ∩(a, a + 1) 含2 个元 素, 则ω 的取值范围是 . 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 已知三棱锥P −ABC 中, E、F 分别是AC、AB 的中点, △ABC, △PEF 都是正三角形, PF ⊥AB. (1) 证明: PC ⊥平面PAB; (2) 求二面角P −AB −C 的平面角的余弦值; (3) 若点P、A、B、C 在一个表面积为12π 的球面上, 求△ABC 的边长. A E B F C P
2. 2. 如图, 在直径为1 的圆O 中, 作一关于圆心对称、邻边互相垂直的〸字形, 其中y > x > 0. (1) 将〸字形的面积表示为θ 的函数; (2) θ 为何值时, 〸字形的面积最大? 最大面积是多少? x x y y θ O 244
3. 3. 已知函数f(x) = x + 3 x + 1 (x̸ = −1). 设数列{an} 满足a1 = 1, an+1 = f(an), 数列{bn} 满足bn = |an − √ 3|, Sn = b1 + b2 + · · · + bn (n ∈N∗). (1) 用数学归纳法证明: bn ⩽( √ 3 −1) n 2n−1 ; (2) 证明: Sn < 2 √ 3 3 .
4. 4. 某工厂生产甲、乙两种产品, 每种产品都是经过第一和第二工序加工而成, 两道工序的加工结果相互独立, 每道工序的加工结果均有A、B 两个等级. 对每种产品, 两道工序的加工结果都为A 级时, 产品为一等品, 其余均为二 等品. (1) 已知甲、乙两种产品每一道工序的加工结果为A 级的概率如表一所示, 分别求生产出的甲、乙产品为一等品的概率P甲、P乙; 产品 概率 工序 第一工序 第二工序 甲 0.8 0.85 乙 0.75 0.8 表一 (2) 已知一件产品的利润如表二所示, 用ξ、η 分别表示一件甲、乙产品的 利润, 在(1) 的条件下, 求ξ、η 的分布列及Eξ、Eη; 产品 利润 等级 一等 二等 甲 5 (万元) 2.5 (万元) 乙 2.5 (万元) 1.5 (万元) 表二 (3) 已知生产一件产品需用的工人数和资金额如表三所示. 该工厂有工人 40 名, 可用资. 金60 万元. 设x、y 分别表示生产甲、乙产品的数量, 在 (2) 的条件下, x、y 为何值时, z = xEξ + yEη 最大? 最大值是多少? 产品 用量 项目 工人(名) 资金(万元) 甲 8 8 乙 2 10 表三
5. 5. 已知椭圆x2 a2 + y2 b2 = 1 (a > b > 0) 的左、右焦点分别是F1(−c, 0)、F2(c, 0), Q 是椭圆外的动点, 满足 # » F1Q  = 2a. 点P 是线段F1Q 与该椭圆的交点, 点T 在线段F2Q 上, 并且满足# » PT · # » TF2 = 0, # » TF2 ̸ = 0. (1) 设x 为点P 的横坐标, 证明: # » F1P  = a + c ax; (2) 求点T 的轨迹C 的方程; (3) 试问: 在点T 的轨迹C 上, 是否存在点M, 使△F1MF2 的面积 S = b2. 若存在, 求∠F1MF2 的正切值; 若不存在, 请说明理由.
6. 6. 函数y = f(x) 在区间(0, +∞) 内可导, 导函数f ′(x) 是减函数, 且 处的切线方程, 并设函数g(x) = kx + m. (1) 用x0、f(x0)、f ′(x0) 表示m; (2) 证明: 当x0 ∈(0, +∞), g(x) ⩾f(x); (3) 若关于x 的不等式x2 + 1 ⩾ax + b ⩾3 2x 2 3 在[0, +∞) 上恒成立, 其中 245

原卷配图（含真实几何/应用题图示）