2005年重庆（文科）

本卷为官方高考数学真题（2005年重庆（文科）），共 22 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 10 题）

1. 1. 圆(x + 2)2 + y2 = 5 关于原点(0, 0) 对称的圆的方程为 ( ) 5分
   A. (x −2)2 + y2 = 5 B. x2 + (y −2)2 = 5 C. (x + 2)2 + (y + 2)2 = 5 D. x2 + (y + 2)2 = 5
2. 2. ( cos π 12 −sin π 12 ) ( cos π 12 + sin π 12 ) = ( ) √ 3 2 2 2 (D) √ 3 2 5分
   A. − B. −1 C. 1
3. 3. 若函数f(x) 是定义在R 上的偶函数, 在(−∞, 0] 上是减函数, 且f(2) = 0, 则使得f(x) < 0 的x 的取值范围是 ( ) 5分
   A. (−∞, 2) B. (2, +∞) C. (−∞, −2) ∪(2, +∞) D. (−2, 2)
4. 4. 设向量a = (−1, 2), b = (2, −1), 则(a · b)(a + b) 等于 ( ) 5分
   A. (1, 1) B. (−4, −4) C. −4 D. (−2, −2)
5. 5. 不等式组 { |x −2| < 2, log2(x2 −1) > 1 的解集为 ( ) √ 3) √ 3, 2) √ 3, 4) 5分
   A. (0, B. ( C. ( D. (2, 4)
6. 6. 已知α、β 均为锐角, 若p : sin α < sin(α + β), q : α + β < π 2 , 则p 是q 的 ( ) 5分
   A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
7. 7. 对于不重合的两个平面α 与β, 给定下列条件: ①存在平面γ, 使得α、β 都垂直于γ; ②存在平面γ, 使得α、β 都平行于γ; ③存在直线l ⊂α, 直线m ⊂α, 使得l m; ④存在异面直线l、m, 使得l α, l β, m α, m β. 其中, 可以判定α 与β 平行的条件有 ( ) 5分
   A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个
8. 8. 若(1 + 2x)n 展开式中含x3 项的系数等于含x 项的系数的8 倍, 则n 等 于 ( ) 5分
   A. 5 B. 7 C. 9 D. 11
9. 9. 若动点(x, y) 在曲线x2 4 + y2 b2 = 1 (b > 0) 上变化, 则x2 + 2y 的最大值 为 ( ) (A)    b2 4 + 4, 0 < b < 4, 2b, (B)    b2 4 + 4, 0 < b < 2, 2b, 4 + 4 5分
   B. ⩾4. B. ⩾2. C. b2 D. 2b
10. 10. 有一塔形几何体由若干个正方体构成, 构成方式如图所示, 上层正方体下 底面的四个顶点是下层正方体上底面各连接中点, 已知最底层正方体的棱 长为2, 且该塔形的表面积(含最底层正方体的底面面积) 超过39, 则该塔 形中正方体的个数至少是 ( ) 5分
    A. 4 B. 5 C. 6 D. 7

填空题（每题 5 分）（共 6 题）

1. 1. 若集合 A = {x ∈R | x2 −4x + 3 < 0}, 集合 B = {x ∈R | (x −2)(x −5) < 0}, 则A ∩B = . 5分
2. 2. 曲线y = x3 在点(1, 1) 处的切线与x 轴、直线x = 2 所围成的三角形的 面积为 . 5分
3. 3. 已知α、β 均为锐角, 且cos(α + β) = sin(α −β), 则tan α = . 5分
4. 4. 若x2 + y2 = 4, 则x −y 的最大值是 . 5分
5. 5. 若10 把钥匙中只有2 把能打开某锁, 则从中任取2 把能将该锁打开的概 率为 . 5分
6. 6. 已知A ( −1 2, 0 ) , B 是圆F : ( x −1 2 )2 + y2 = 4 (F 为圆心) 上一动点, 线 段AB 的垂直平分线交BF 于P, 则动点P 的轨迹方程为 . 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 若函数f(x) = 1 + cos 2x 2 sin (π 2 −x ) + sin x + a2 sin ( x + π 4 ) 的最大值为 √ 2 + 3, 试确定常数a 的值.
2. 2. 加工某种零件需经过三道工序, 设第一、二、三道工序的合格率分别为9 10、 8 9、7 8, 且各道工序互不影响. (1) 求该种零件的合格率; (2) 从该种零件中任取3 件, 求恰好取到一件合格品的概率和至少取到一 件合格品的概率.
3. 3. 设函数f(x) = 2x3 −3(a + 1)x2 + 6ax + 8, 其中a ∈R. (1) 若f(x) 在x = 3 处取得极值, 求常数a 的值; (2) 若f(x) 在(−∞, 0) 上为增函数, 求a 的取值范围. 222
4. 4. 如图, 在四棱锥P −ABCD 中, 底面ABCD 为矩形, PD ⊥底面ABCD, √ 2, CD = 2, AE = 1 2, 求: (1) 异面直线PD 与EC 的距离; (2) 二面角E −PC −D 的大小. A B C E D P
5. 5. 已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2, 0), 右顶点为( √ 3, 0). (1) 求双曲线C 的方程; (2) 若直线l: y = kx + √ 2 与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B, 且 # » OA · # » OB > 2 (其中O 为原点). 求k 的取值范围.
6. 6. 数列{an} 满足a1 = 1 且8an+1an −16an+1 + 2an + 5 = 0 (n ⩾1). 记 bn = 1 an −1 2 (n ⩾1). (1) 求b1、b2、b3、b4 的值; (2) 求数列{bn} 的通项公式及数列{anbn} 的前n 项和Sn. 223

原卷配图（含真实几何/应用题图示）