2005年重庆（理科）

本卷为官方高考数学真题（2005年重庆（理科）），共 22 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 10 题）

1. 1. 圆(x + 2)2 + y2 = 5 关于原点(0, 0) 对称的圆的方程为 ( ) 5分
   A. (x −2)2 + y2 = 5 B. x2 + (y −2)2 = 5 C. (x + 2)2 + (y + 2)2 = 5 D. x2 + (y + 2)2 = 5
2. 2. (1 + i 1 −i )2005 = ( ) 5分
   A. i B. −i C. 22005 D. −22005
3. 3. 若函数f(x) 是定义在R 上的偶函数, 在(−∞, 0] 上是减函数, 且f(2) = 0, 则使得f(x) < 0 的x 的取值范围是 ( ) 5分
   A. (−∞, 2) B. (2, +∞) C. (−∞, −2) ∪(2, +∞) D. (−2, 2)
4. 4. 已知A(3, 1), B(6, 1), C(4, 3), D 为线段BC 的中点, 则向量# » AC 与# » DA 的夹角为 ( ) 2 −arccos 4 5 5 ( −4 5 ) ( −4 5 ) 5分
   A. π B. arccos 4 C. arccos D. −arccos
5. 5. 若x, y 是正数, 则 ( x + 1 2y )2 + ( y + 1 2x )2 的最小值是 ( ) 2 2 5分
   A. 3 B. 7 C. 4 D. 9
6. 6. 已知α、β 均为锐角, 若p: sin α < sin(α + β), q: α + β < π 2 , 则p 是q 的 ( ) 5分
   A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
7. 7. 对于不重合的两个平面α 与β, 给定下列条件: ①存在平面γ, 使得α、β 都垂直于γ; ②存在平面γ, 使得α、β 都平行于γ; ③α 内有不共线的三点到β 的距离相等; ④存在异面直线l、m, 使得l α, l β, m α, m β. 其中, 可以判定α 与β 平行的条件有 ( ) 5分
   A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个
8. 8. 若 ( 2x −1 x )n 展开式中含1 x2 项的系数与含1 x4 项的系数之比为−5, 则 n 等于 ( ) 5分
   A. 4 B. 6 C. 8 D. 10
9. 9. 若动点(x, y) 在曲线x2 4 + y2 b2 = 1 (b > 0) 上变化, 则x2 + 2y 的最大值 为 ( ) (A)    b2 4 + 4, 0 < b < 4, 2b, (B)    b2 4 + 4, 0 < b < 2, 2b, 4 + 4 5分
   B. ⩾4. B. ⩾2. C. b2 D. 2b
10. 10. 在体积为1 的三棱锥A −BCD 侧棱AB、AC、AD 上分别取点E、F、 G, 使AE : EB = AF : FC = AG : GD = 2 : 1, 记O 为三平面BCG、 CDE、DBF 的交点, 则三棱锥O −BCD 的体积等于 ( ) 9 8 7 4 5分
    A. 1 B. 1 C. 1 D. 1

填空题（每题 5 分）（共 6 题）

1. 1. 已知集合A = {x ∈R | x2 −x −6 < 0}, 集合B = {x ∈R | |x −2| < 2}, 则A ∩B = . 5分
2. 2. 曲线y = x3 在点(a, a3) (a̸ = 0) 处的切线与x 轴、直线x = a 所围成的 三角形的面积为1 6, 则a = . 5分
3. 3. 已知α、β 均为锐角, 且cos(α + β) = sin(α −β), 则tan α = . 5分
4. 4. lim n→∞ 23n −32n+1 23n + 32n = . 5分
5. 5. 某轻轨列车有4 节车厢, 现有6 位乘客准备乘坐, 设每一位乘客进入每节 车厢是等可能的, 则这6 位乘客进入各节车厢的人数恰好为0, 1, 2, 3 的概 率为 . 5分
6. 6. 连接抛物线上任意四点组成的四边形可能是 . (填写所有正确选项的 序号) ①菱形; ②有3 条边相等的四边形; ③梯形; ④平行四边形; ⑤有一组对 角相等的四边形. 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 若函数f(x) = 1 + cos 2x 4 sin (π 2 + x ) −a sin x 2 cos ( π −x 2 ) 的最大值为2, 试确定 常数a 的值.
2. 2. 在一次购物抽奖活动中, 假设某10 张券中有一等奖券1 张, 可获价值50 元的奖品; 有二等奖券3 张, 每张可获价值10 元的奖品; 其余6 张没有奖, 某顾客从此10 张券中任抽2 张, 求: (1) 该顾客中奖的概率; (2) 该顾客获得的奖品总价值ξ (元) 的概率分布列和期望Eξ.
3. 3. 已知a ∈R, 讨论函数f(x) = ex(x2 + ax + a + 1) 的极值点的个数. 220
4. 4. 如图, 在三棱柱ABC −A1B1C1 中, AB ⊥侧面BB1C1C, E 为棱CC1 上异于C、C1 的一点, EA ⊥EB1, 已知AB = √ 2, BB1 = 2, BC = 1, ∠BCC1 = π 3 , 求: (1) 异面直线AB 与EB1 的距离; (2) 二面角A −EB1 −A1 的平面角的正切值. A B C E A1 B1 C1
5. 5. 已知椭圆C1 的方程为x2 4 + y2 = 1, 双曲线C2 的左、右焦点分别为C1 的左、右顶点, 而C2 的左、右顶点分别是C1 的左、右焦点. (1) 求双曲线C2 的方程; (2) 若直线l : y = kx + √ 2 与椭圆C1 及双曲线C2 都恒有两个不同的交 点, 且l 与C2 的两个交点A 和B 满足# » OA · # » OB < 6 (其中O 为原点), 求 k 的取值范围.
6. 6. 数列{an} 满足a1 = 1 且an+1 = ( 1 + 1 n2 + n ) an + 1 2n (n ⩾1). (1) 用数学归纳法证明: an ⩾2 (n ⩾2); (2) 已知不等式ln(1 + x) < x 对x > 0 成立, 证明:an < e2 (n ⩾1), 其中 无理数e = 2.71828 · · · . 221

原卷配图（含真实几何/应用题图示）