2006年上海（文科）

本卷为官方高考数学真题（2006年上海（文科）），共 22 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

填空题（每题 5 分）（共 12 题）

1. 1. 已知集合A = {−1, 3, m}, 集合B = {3, 4}. 若B ⊆A, 则实数 m = . 5分
2. 2. 已知两条直线l1: ax + 3y −3 = 0, l2: 4x + 6y −1 = 0. 若l1 l2, 则 . 5分
   A. =
3. 3. 若函数f(x) = ax (a > 0, 且a̸ = 1) 的反函数的图象过点(2, −1), 则 . 5分
   A. =
4. 4. 计算: lim n→∞ n(n2 + 1) 6n3 + 1 = . 5分
5. 5. 若复数z = (m −2) + (m + 1)i 为纯虚数(i 为虚数单位), 其中m ∈R, 则 |z| = . 5分
6. 6. 函数y = sin x cos x 的最小正周期是 . 5分
7. 7. 已知双曲线的中心在原点, 一个顶点的坐标是(3, 0), 且焦距与虚轴长之比 为5 : 4, 则双曲线的标准方程是 . 5分
8. 8. 方程log3(x2 −10) = 1 + log3 x 的解是 . 5分
9. 9. 已知实数x、y 满足              x + y −3 ⩾0, x + 2y −5 ⩽0, x ⩾0, y ⩾0, 则y −2x 的最大值是 . 5分
10. 10. 在一个小组中有8 名女同学和4 名男同学, 从中任意地挑选2 名同学担任 交通安全宣传志愿者, 那么选到的两名都是女同学的概率是 . (结果 用分数表示) 5分
11. 11. 若曲线|y| = 2x + 1 与直线y = b 没有公共点, 则b 的取值范围是 . 5分
12. 12. 如图, 平面中两条直线l1 和l2 相交于点O. 对于平面上任意一点M, 若p、 q 分别是M 到直线l1 和l2 的距离, 则称有序非负实数对(p, q) 是点M 的“距离坐标”. 根据上述定义, “距离坐标”是(1, 2) 的点的个数是 . O l2 l1 M(p, q) 5分

选择题（每题 5 分）（共 4 题）

1. 1. 如图, 在平行四边形ABCD 中, 下列结论中错误的是 ( ) C B A D AB = # » DC AD + # » AB = # » AC AB −# » AD = # » BD AD + # » CB = #»0 5分
   A. # » B. # » C. # » D. # »
2. 2. 如果a < 0, b > 0, 那么, 下列不等式中正确的是 ( ) b √ b 5分
   A. 1 A. < 1 B. √−a < C. a2 < b2 D. |a| > |b|
3. 3. 若空间中有两条直线, 则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共 点”的 ( ) 5分
   A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充分必要条件 D. 既非充分又非必要条件
4. 4. 如果一条直线与一个平面垂直, 那么, 称此直线与平面构成一个“正交线面 对”. 在一个正方体中, 由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成 的“正交线面对”的个数是 ( ) 5分
   A. 48 B. 18 C. 24 D. 36

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 已知α 是第一象限的角, 且cos α = 5 13, 求 sin ( α + π 4 ) cos(2α + 4π) 的值.
2. 2. 如图, 当甲船位于A 处时获悉, 在其正东方向相距20 海里的B 处有一艘 渔船遇险等待营救. 甲船立即前往救援, 同时把消息告知在甲船的南偏西 30◦, 相距10 海里C 处的乙船, 试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线 前往B 处救援? (角度精确到1◦) C 30◦ 10 B 20 A 北 • • •
3. 3. 在直三棱柱ABC −A1B1C1 中, ∠ABC = 90◦, AB = BC = 1. (1) 求异面直线B1C1 与AC 所成角的大小; (2) 若A1C 与平面ABC 所成角为45◦, 求三棱锥A1 −ABC 的体积. C B A C1 B1 A1 330
4. 4. 设数列{an} 的前n 项和为Sn, 且对任意正整数n, an + Sn = 4096. (1) 求数列{an} 的通项公式; (2) 设数列{log2an} 的前n 项和为Tn, 对数列{Tn}, 从第几项起 Tn < −509?
5. 5. 已知在平面直角坐标系xOy 中的一个椭圆, 它的中心在原点, 左焦点为 F(− √ 3, 0), 且右顶点为D(2, 0), 设点A 的坐标是 ( 1, 1 2 ) . (1) 求该椭圆的标准方程; (2) 若P 是椭圆上的动点, 求线段PA 中点M 的轨迹方程; (3) 过原点O 的直线交椭圆于点B、C, 求△ABC 面积的最大值.
6. 6. 已知函数y = x + a x 有如下性质: 如果常数a > 0, 那么该函数在(0, √a] 上是减函数, 在[√a, +∞) 上是增函数. (1) 如果函数y = x + 2b x (x > 0) 在(0, 4] 上是减函数, 在[4, +∞) 上是增 函数, 求b 的值; (2) 设常数c ∈[1, 4], 求函数f(x) = x + c x (1 ⩽x ⩽2) 的最大值和最小值; (3) 当n 是正整数时, 研究函数g(x) = xn + c xn (c > 0) 的单调性, 并说明 理由. 331

原卷配图（含真实几何/应用题图示）