2006年上海（理科）

本卷为官方高考数学真题（2006年上海（理科）），共 22 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

填空题（每题 5 分）（共 12 题）

1. 1. 已知集合A = {−1, 3, 2m −1}, 集合B = {3, m2}, 若B ⊆A, 则实数 m = . 5分
2. 2. 已知圆x2 −4x −4 + y2 = 0 的圆心是点P, 则点P 到直线x −y −1 = 0 的距离是 . 5分
3. 3. 若函数f(x) = ax (a > 0, 且a̸ = 1) 的反函数的图象过点(2, −1), 则 . 5分
   A. =
4. 4. 计算lim n→∞ C3 n n3 + 1 = . 5分
5. 5. 若复数z 同时满足z −z = 2i, z = iz (i 为虚数单位), 则z = . 5分
6. 6. 如果cos α = 1 5, 且α 是第四象限的角, 那么cos ( α + π 2 ) = . 5分
7. 7. 已知椭圆中心在原点, 一个焦点为F(−2 √ 3, 0), 且长轴长是短轴长的2 倍, 则该椭圆的标准方程是 . 5分
8. 8. 在极坐标系中, O 是极点, 设点A ( 4, π 3 ) , B ( 5, −5π 6 ) . 则△OAB 的面积 是 . 5分
9. 9. 两部不同的长篇小说各由第一、二、三、四卷组成, 每卷1 本, 共8 本. 将它 们任意地排成一排, 左边4 本恰好都属于同一部小说的概率是 . (结 果用分数表示) 5分
10. 10. 如果一条直线与一个平面垂直, 那么, 称此直线与平面构成一个“正交线面 对”. 在一个正方体中, 由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成 的“正交线面对”的个数是 . 5分
11. 11. 若曲线y2 = |x| + 1 与直线y = kx + b 没有公共点, 则k, b 分别应满足的 条件是 . 5分
12. 12. 三个同学对问题”关于x 的不等式x2 + 25 + |x3 −5x2| ⩾ax 在[1, 12] 上 恒成立, 求实数a 的取值范围”提出各自的解题思路. 甲说: “只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”. 乙说: “把不等式变形为左边含变量x 的函数, 右边仅含常数, 求函数的最 值”. 丙说: “把不等式两边看成关于x 的函数, 作出函数图象”. 参考上述解题思路, 你认为他们所讨论的问题的正确结论, 即a 的取值范 围是 . 5分

选择题（每题 5 分）（共 4 题）

1. 1. 如图, 在平行四边形ABCD 中, 下列结论中错误的是 ( ) C B A D AB = # » DC AD + # » AB = # » AC AB −# » AD = # » BD AD + # » CB = #»0 5分
   A. # » B. # » C. # » D. # »
2. 2. 若空间中有四个点, 则“这四个点中有三点在同一条直线上”是“这四个点在 同一个平面上”的 ( ) 5分
   A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充分必要条件 D. 既非充分又非必要条件
3. 3. 若关于x 的不等式(1 + k2)x ⩽k4 + 4 的解集是M, 则对任意实常数k, 总 有 ( ) 5分
   A. 2 ∈M, 0 ∈M B. 2 /∈M, 0 /∈M C. 2 ∈M, 0 /∈M D. 2 /∈M, 0 ∈M
4. 4. 如图, 平面中两条直线l1 和l2 相交于点O, 对于平面上任意一点M, 若p, q 分别是M 到直线l1 和l2 的距离, 则称有序非负实数对(p, q) 是点M 的“距离坐标”. 已知常数p ⩾0, q ⩾0, 给出下列命题: ①若p = q = 0, 则“距离坐标”为(0, 0) 的点有且仅有1 个; ②若pq = 0, 且p + q̸ = 0, 则“距离坐标”为(p, q) 的点有且仅有2 个; ③若pq̸ = 0, 则“距离坐标”为(p, q) 的点有且仅有4 个. 上述命题中, 正确命题的个数是 ( ) O l2 l1 M(p, q) 5分
   A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 求函数y = 2 cos ( x + π 4 ) cos ( x −π 4 ) + √ 3 sin 2x 的值域和最小正周期.
2. 2. 如图, 当甲船位于A 处时获悉, 在其正东方向相距20 海里的B 处有一艘 渔船遇险等待营救. 甲船立即前往救援, 同时把消息告知在甲船的南偏西 30◦, 相距10 海里C 处的乙船, 试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线 前往B 处救援? (角度精确到1◦) C 30◦ 10 B 20 A 北 • • •
3. 3. 在四棱锥P −ABCD 中, 底面是边长为2 的菱形. ∠DAB = 60◦, 对角线 AC 与BD 相交于点O, PO ⊥平面ABCD, PB 与平面ABCD 所成的 角为60◦. (1) 求四棱锥P −ABCD 的体积; (2) 若E 是PB 的中点, 求异面直线DE 与PA 所成角的大小. (结果用 反三角函数值表示) C B D O P E A 328
4. 4. 在平面直角坐标系xOy 中, 直线l 与抛物线y2 = 2x 相交于A, B 两点. (1) 求证: “如果直线l 过点T(3, 0), 那么# » OA · # » OB = 3”是真命题; (2) 写出(1) 中命题的逆命题, 判断它是真命题还是假命题, 并说明理由.
5. 5. 已知有穷数列{an} 共有2k 项(整数k ⩾2), 首项a1 = 2. 设该数列的前 n 项和为Sn, 且an+1 = (a −1)Sn + 2 (n = 1, 2, · · · , 2k −1), 其中常数 (1) 求证: 数列{an} 是等比数列; (2) 若a = 2 2 2k−1 , 数列{bn} 满足bn = 1 n log2(a1a2 · · · an) (n = 1, 2, · · · , 2k), 求数列{bn} 的通项公式; (3) 若(2) 中的数列{bn} 满足不等式 b1 −3 2 + b2 −3 2 +· · ·+ b2k−1 −3 2 + b2k −3 2  ⩽4, 求k 的值.
6. 6. 已知函数y = x + a x 有如下性质: 如果常数a > 0, 那么该函数在(0, √a] 上是减函数, 在[√a, +∞) 上是增函数. (1) 如果函数y = x + 2b x (x > 0) 的值域为[6, +∞), 求b 的值; (2) 研究函数y = x2 + c x2 (常数c > 0) 在定义域内的单调性, 并说明理由; (3) 对函数y = x + a x 和y = x2 + a x2 (常数a > 0) 作出推广, 使它们都是 你所推广的函数的特例. 研究推广后的函数的单调性(只须写出结论, 不必 证明), 并求函数F(x) = ( x2 + 1 x )n + ( 1 x2 + x )n (n 是正整数) 在区间 [1 2, 2 ] 上的最大值和最小值. (可利用你的研究结论) 329

原卷配图（含真实几何/应用题图示）