2006年全国1（理科）

本卷为官方高考数学真题（2006年全国1（理科）），共 22 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 12 题）

1. 1. 设集合M = {x | x2 −x < 0}, N = {x | |x| < 2}, 则 ( ) 5分
   A. M ∩N = ∅ B. M ∩N = M C. M ∪N = M D. M ∪N = R
2. 2. 已知函数y = ex 的图象与函数y = f(x) 的图象关于直线y = x 对称, 则 ( ) 5分
   A. f(2x) = e2x (x ∈R) B. f(2x) = ln 2 · ln x (x > 0) C. f(2x) = 2ex (x ∈R) D. f(2x) = ln x + ln 2 (x > 0)
3. 3. 双曲线mx2 + y2 = 1 的虚轴长是实轴长的2 倍, 则m = ( ) 4 4 5分
   A. −1 B. −4 C. 4 D. 1
4. 4. 如果复数(m2 + i)(1 + mi) 是实数, 则实数m = ( ) (C) √ 2 √ 2 5分
   A. 1 B. −1 D. −
5. 5. 函数f(x) = tan ( x + π 4 ) 的单调增区间为 ( ) (A) ( kπ −π 2 , kπ + π 2 ) , k ∈Z (C) ( kπ −3π 4 , kπ + π 4 ) , k ∈Z (D) ( kπ −π 4 , kπ + 3π 4 ) , k ∈Z 5分
   B. (kπ, (k + 1)π), k ∈Z
6. 6. △ABC 的内角A, B, C 的对边分别为a, b, c, 若a, b, c 成等比数列, 且 ( ) 4 4 (C) √ 2 4 (D) √ 2 3 5分
   C. = 2a, 则cos B = A. 1 B. 3
7. 7. 已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4, 体积为16, 则这个球的表 面积是 ( ) 5分
   A. 16π B. 20π C. 24π D. 32π
8. 8. 抛物线y = −x2 上的点到直线4x + 3y −8 = 0 距离的最小值是 ( ) 3 5 5 5分
   A. 4 B. 7 C. 8 D. 3
9. 9. 设平面向量a1, a2, a3 的和a1 + a2 + a3 = 0. 如果向量b1, b2, b3 满足 |bi| = 2|ai|, 且ai 顺时针旋转30◦后与bi 同向, 其中i = 1, 2, 3, 则( ) 5分
   A. −b1 + b2 + b3 = 0 B. b1 −b2 + b3 = 0 C. b1 + b2 −b3 = 0 D. b1 + b2 + b3 = 0
10. 10. 设an 是公差为正数的等差数列, 若a1 + a2 + a3 = 15, a1a2a3 = 80, 则 a11 + a12 + a13 = ( ) 5分
    A. 120 B. 105 C. 90 D. 75
11. 11. 用长度分别为2, 3, 4, 5, 6 (单位: cm) 的5 根细木棒围成一个三角形(允 许连接, 但不允许折断), 能够得到的三角形的最大面积为 ( ) √ 5 cm2 √ 10 cm2 √ 55 cm2 5分
    A. 8 B. 6 C. 3 D. 20 cm2
12. 12. 设集合I = {1, 2, 3, 4, 5}. 选择I 的两个非空子集A 和B, 要使B 中最 小的数大于A 中最大的数, 则不同的选择方法共有 ( ) 5分
    A. 50 种 B. 49 种 C. 48 种 D. 47 种

填空题（每题 5 分）（共 4 题）

1. 1. 已知正四棱锥的体积为12, 底面对角线长为2 √ 6, 则侧面与底面所成的二 面角等于 . 5分
2. 2. 设z = 2y −x, 式中变量x, y 满足下列条件:        2x −y ⩾−1, 3x + 2y ⩽23, y ⩾1, 则z 的最大 值为 . 5分
3. 3. 安排7 位工作人员在5 月1 日至5 月7 日值班, 每人值班一天, 其中甲、 乙二人都不安排在5 月1 日和2 日, 不同的安排方法共有 种. (用数 字作答) 5分
4. 4. 函数f(x) = cos( √ 3x + φ) (0 < φ < π). 若f(x) + f ′(x) 是奇函数, 则 φ = . 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. △ABC 的三个内角为A, B, C, 求当A 为何值时, cos A + 2 cos B + C 2 取 得最大值, 并求出这个最大值.
2. 2. A, B 是治疗同一种疾病的两种药, 用若干试验组进行对比试验. 每个试验 组由4 只小白鼠组成, 其中2 只服用A, 另2 只服用B, 然后观察疗效. 若 在一个试验组中, 服用A 有效的小白鼠的只数比服用B 有效的多, 就称该 试验组为甲类组. 设每只小白鼠服用A 有效的概率为2 3, 服用B 有效的 概率为1 2. (1) 求一个试验组为甲类组的概率; (2) 观察3 个试验组, 用ξ 表示这3 个试验组中甲类组的个数, 求ξ 的分 布列和数学期望.
3. 3. 如图, l1, l2 是互相垂直的异面直线, MN 是它们的公垂线段. 点A, B 在 l1 上, C 在l2 上, AM = MB = MN. (1) 证明: AC ⊥NB; (2) 若∠ACB = 60◦, 求NB 与平面ABC 所成角的余弦值. B C M N l2 l1 A 312
4. 4. 在平面直角坐标系xOy 中, 有一个以F1(0, − √ 3) 和F2(0, √ 3) 为焦点, 离 心率为 √ 3 2 的椭圆, 设椭圆在第一象限的部分为曲线C, 动点P 在C 上, C 在点P 处的切线与x, y 轴的交点分别为A, B, 且向量# » OM = # » OA + # » OB. 求: (1) 点M 的轨迹方程; (2) # » OM  的最小值.
5. 5. 已知函数f(x) = 1 + x 1 −xe−ax. (1) 设a > 0, 讨论y = f (x) 的单调性; (2) 若对任意x ∈(0, 1) 恒有f(x) > 1, 求a 的取值范围.
6. 6. 设数列an 的前n 项的和Sn = 4 3an −1 3 × 2n+1 + 2 3, n = 1, 2, 3, · · · . (1) 求首项a1 与通项an; (2) 设Tn = 2n Sn , n = 1, 2, 3, · · · , 证明: n∑ i=1 Ti < 3 2. 313

原卷配图（含真实几何/应用题图示）