2006年全国2（文科）

本卷为官方高考数学真题（2006年全国2（文科）），共 22 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 12 题）

1. 1. 已知向量a = (4, 2), 向量b = (x, 3), 且a b, 则x = ( ) 5分
   A. 9 B. 6 C. 5 D. 3
2. 2. 已知集合M = {x | x < 3}, N = {x | log2 x > 1}, 则M ∩N = ( ) 5分
   A. ∅ B. {x | 0 < x < 3} C. {x | 1 < x < 3} D. {x | 2 < x < 3}
3. 3. 函数y = sin 2x cos 2x 的最小正周期是 ( ) 4 2 5分
   A. 2π B. 4π C. π D. π
4. 4. 如果函数y = f(x) 的图象与函数y = 3 −2x 的图象关于坐标原点对称, 则 y = f(x) 的表达式为 ( ) 5分
   A. y = 2x −3 B. y = 2x + 3 C. y = −2x + 3 D. y = −2x −3
5. 5. 已知△ABC 的顶点B, C 在椭圆x2 3 + y2 = 1 上, 顶点A 是椭圆的一个 焦点, 且椭圆的另外一个焦点在BC 边上, 则△ABC 的周长是 ( ) √ 3 √ 3 5分
   A. 2 B. 6 C. 4 D. 12
6. 6. 已知等差数列{an} 中, a2 = 7, a4 = 15, 则前10 项的和S10 = ( ) 5分
   A. 100 B. 210 C. 380 D. 400
7. 7. 如图, 平面α ⊥平面β, A ∈α, B ∈β, AB 与两平面α, β 所成的角分别为 π 4 和π 6 . 过A, B 分别作两平面交线的垂线, 垂足为A′, B′, 若AB = 12, 则A′B′ = ( ) B B′ β α A A′ 5分
   A. 4 B. 6 C. 8 D. 9
8. 8. 已知函数f(x) = ln x + 1 (x > 0), 则f(x) 的反函数为 ( ) 5分
   A. y = ex+1 (x ∈R) B. y = ex−1 (x ∈R) C. y = ex+1 (x > 1) D. y = ex−1 (x > 1)
9. 9. 已知双曲线x2 a2 −y2 b2 = 1 的一条渐近线方程为y = 4 3x, 则双曲线的离心率 为 ( ) 3 3 4 2 5分
   A. 5 B. 4 C. 5 D. 3
10. 10. 若f(sin x) = 3 −cos 2x, 则f(cos x) = ( ) 5分
    A. 3 −cos 2x B. 3 −sin 2x C. 3 + cos 2x D. 3 + sin 2x
11. 11. 过点(−1, 0) 作抛物线y = x2 + x + 1 的切线, 则其中一条切线为 ( ) 5分
    A. 2x + y + 2 = 0 B. 3x −y + 3 = 0 C. x + y + 1 = 0 D. x −y + 1 = 0
12. 12. 5 名志愿者分到3 所学校支教, 要求每所学校至少去1 名志愿者, 则不同 的分法共有 ( ) 5分
    A. 150 种 B. 180 种 C. 200 种 D. 280 种

填空题（每题 5 分）（共 4 题）

1. 1. 在 ( x4 + 1 x )10 的展开式中常数项是 . (用数字作答) 5分
2. 2. 已知圆O1 是半径为R 的球O 的小圆, 若圆O1 的面积与球O 的表面积 的比值为2 9, 则线段OO1 与R 的比值为 . 5分
3. 3. 过点(1, √ 2) 的直线l 将圆(x −2)2 + y2 = 4 分成两段弧, 当劣弧所对的圆 心角最小时, 直线l 的斜率k = . 5分
4. 4. 一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000 人, 并根据所得数据 画了样本的频率分布直方图(如图). 为了分析居民的收入与年龄、学历、 职业等方面的关系, 要从这10000 人中再用分层抽样方法抽出100 人作进 一步调查, 则在[2500, 3000) (元) 月收入段应抽出 人. 频率 组距 0 月收入(元) 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 0.0002 0.0004 0.0005 0.0003 0.0001 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 已知△ABC 中, ∠B = 45◦, AC = √ 10, cos C = 2 √ 5 5 . (1) 求BC 边的长; (2) 记AB 的中点为D, 求中线CD 的长度.
2. 2. 记等比数列{an} 的前n 项和为Sn, 已知S4 = 1, S8 = 17, 求{an} 的通 项公式.
3. 3. 某批产品成箱包装, 每箱5 件, 一用户在购进该批产品前先取出3 箱, 再 从每箱中任意取出2 件产品进行检验. 设取出的第一, 二, 三箱中分别有0 件, 1 件, 2 件二等品, 其余为一等品. (1) 求抽检的6 件产品中恰有一件二等品的概率; (2) 若抽检的6 件产品中有2 件或2 件以上二等品, 用户就拒绝购买这批 产品, 求这批产品被用户拒绝购买的概率. 318
4. 4. 如图, 在直三棱柱ABC −A1B1C1 中, AB = BC, D, E 分别为BB1, AC1 的中点. (1) 证明: ED 为异面直线BB1 与AC1 的公垂线; (2) 设AA1 = AC = √ 2AB, 求二面角A1 −AD −C1 的大小. B C D E A A1 B1 C1
5. 5. 已知a ∈R, 二次函数f(x) = ax2 −2x −2a. 设不等式f(x) > 0 的解集 为A, 又知集合B = {x | 1 < x < 3}. 若A ∩B̸ = ∅, 求a 的取值范围.
6. 6. 已知抛物线x2 = 4y 的焦点为F, A、B 是抛物线上的两动点, 且 # » AF = λ# » FB (λ > 0). 过A、B 两点分别作抛物线的切线, 设其交点为 M. (1) 证明# » FM · # » AB 为定值; (2) 设△ABM 的面积为S, 写出S = f(λ) 的表达式, 并求S 的最小值. 319

原卷配图（含真实几何/应用题图示）