2006年全国2（理科）

本卷为官方高考数学真题（2006年全国2（理科）），共 22 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 12 题）

1. 1. 已知集合M = {x | x < 3}, N = {x | log2 x > 1}, 则M ∩N = ( ) 5分
   A. ∅ B. {x | 0 < x < 3} C. {x | 1 < x < 3} D. {x | 2 < x < 3}
2. 2. 函数y = sin 2x cos 2x 的最小正周期是 ( ) 4 2 5分
   A. 2π B. 4π C. π D. π
3. 3. 3 (1 −i)2 = ( ) 2i 2i 5分
   A. 3 B. −3 C. i D. −i
4. 4. 过球的一条半径的中点, 作垂直于该半径的平面, 则所得截面的面积与球 的表面积的比为 ( ) 16 16 8 32 5分
   A. 3 B. 9 C. 3 D. 9
5. 5. 已知△ABC 的顶点B, C 在椭圆x2 3 + y2 = 1 上, 顶点A 是椭圆的一个 焦点, 且椭圆的另外一个焦点在BC 边上, 则△ABC 的周长是 ( ) √ 3 √ 3 5分
   A. 2 B. 6 C. 4 D. 12
6. 6. 已知函数f(x) = ln x + 1 (x > 0), 则f(x) 的反函数为 ( ) 5分
   A. y = ex+1 (x ∈R) B. y = ex−1 (x ∈R) C. y = ex+1 (x > 1) D. y = ex−1 (x > 1)
7. 7. 如图, 平面α ⊥平面β, A ∈α, B ∈β, AB 与两平面α, β 所成的角 分别为π 4 和π 6 . 过A, B 分别作两平面交线的垂线, 垂足为A′, B′, 则 AB : A′B′ = ( ) B B′ β α A A′ 5分
   A. 2 : 1 B. 3 : 1 C. 3 : 2 D. 4 : 3
8. 8. 函数y = f(x) 的图象与函数g(x) = log2 x (x > 0) 的图象关于原点对称, 则f(x) 的表达式为 ( ) 1 log2 x (x > 0) 1 log2(−x) (x < 0) 5分
   A. f(x) = B. f(x) = C. f(x) = −log2 x (x > 0) D. f(x) = −log2 (−x) (x < 0)
9. 9. 已知双曲线x2 a2 −y2 b2 = 1 的一条渐近线方程为y = 4 3x, 则双曲线的离心率 为 ( ) 3 3 4 2 5分
   A. 5 B. 4 C. 5 D. 3
10. 10. 若f(sin x) = 3 −cos 2x, 则f(cos x) = ( ) 5分
    A. 3 −cos 2x B. 3 −sin 2x C. 3 + cos 2x D. 3 + sin 2x
11. 11. 设Sn 是等差数列{an} 的前n 项和, 若S3 S6 = 1 3, 则S6 S12 = ( ) 10 3 8 9 5分
    A. 3 B. 1 C. 1 D. 1
12. 12. 函数 19 ∑ n=1 |x −n| 的最小值为 ( ) 5分
    A. 190 B. 171 C. 90 D. 45

填空题（每题 5 分）（共 4 题）

1. 1. 在 ( x4 + 1 x )10 的展开式中常数项是 . (用数字作答) 5分
2. 2. 已知△ABC 的三个内角A, B, C 成等差数列, 且AB = 1, BC = 4, 则边 BC 上的中线AD 的长为 . 5分
3. 3. 过点(1, √ 2) 的直线l 将圆(x −2)2 + y2 = 4 分成两段弧, 当劣弧所对的圆 心角最小时, 直线l 的斜率k = . 5分
4. 4. 一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000 人, 并根据所得数据 画了样本的频率分布直方图(如图). 为了分析居民的收入与年龄、学历、 职业等方面的关系, 要从这10000 人中再用分层抽样方法抽出100 人作进 一步调查, 则在[2500, 3000) (元) 月收入段应抽出 人. 频率 组距 0 月收入(元) 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 0.0002 0.0004 0.0005 0.0003 0.0001 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 已知向量a = (sin θ, √ 3), b = (1, cos θ), −π 2 < θ < π 2 . (1) 若a ⊥b, 求θ; (2) 求|a + b| 的最大值.
2. 2. 某批产品成箱包装, 每箱5 件, 一用户在购进该批产品前先取出3 箱, 再 从每箱中任意取出2 件产品进行检验. 设取出的第一, 二, 三箱中分别有0 件, 1 件, 2 件二等品, 其余为一等品. (1) 用ξ 表示抽检的6 件产品中二等品的件数, 求ξ 的分布列及ξ 的数学 期望; (2) 若抽检的6 件产品中有2 件或2 件以上二等品, 用户就拒绝购买这批 产品, 求这批产品被用户拒绝购买的概率.
3. 3. 如图, 在直三棱柱ABC −A1B1C1 中, AB = BC, D, E 分别为BB1, AC1 的中点. (1) 证明: ED 为异面直线BB1 与AC1 的公垂线; (2) 设AA1 = AC = √ 2AB, 求二面角A1 −AD −C1 的大小. B C D E A A1 B1 C1 316
4. 4. 设函数f(x) = (x + 1) ln(x + 1). 若对所有的x ⩾0, 都有f(x) ⩾ax 成立, 求实数a 的取值范围.
5. 5. 已知抛物线x2 = 4y 的焦点为F, A、B 是抛物线上的两动点, 且 # » AF = λ# » FB (λ > 0). 过A、B 两点分别作抛物线的切线, 设其交点 为M. (1) 证明# » FM · # » AB 为定值; (2) 设△ABM 的面积为S, 写出S = f(λ) 的表达式, 并求S 的最小值.
6. 6. 设数列{an} 的前n 项和为Sn, 且方程x2 −anx−an = 0 有一根为Sn −1, n = 1, 2, 3, · · · . (1) 求a1, a2; (2) 求{an} 的通项公式. 317

原卷配图（含真实几何/应用题图示）