2006年北京（文科）

本卷为官方高考数学真题（2006年北京（文科）），共 20 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 8 题）

1. 1. 设集合A = {x | 2x + 1 < 3}, B = {x | −3 < x < 2}, 则A ∩B 等于( ) 5分
   A. {x | −3 < x < 1} B. {x | 1 < x < 2} C. {x | x > −3} D. {x | x < 1}
2. 2. 函数y = 1 + cos x 的图象 ( ) 2 对称 5分
   A. 关于x 轴对称 B. 关于y 轴对称 C. 关于原点对称 D. 关于直线x = π
3. 3. 若#»a 与#»b −#»c 都是非零向量, 则“#»a · #»b = #»a · #»c ”是“#»a ⊥(#»b −#»c )”的( ) 5分
   A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 4. 在1, 2, 3, 4, 5 这五个数字组成的没有重复数字的三位数中, 各位数字之和 为奇数的共有 ( ) 5分
   A. 36 个 B. 24 个 C. 18 个 D. 6 个
5. 5. 已知f(x) = { (3 −a)x −4a, x < 1, loga x, x ⩾1, 是(−∞, +∞) 上的增函数, 那么a 的取值范围是 ( ) (C) [3 5, 3 ) 5分
   A. (1, +∞) B. (−∞, 3) D. (1, 3)
6. 6. 如果−1, a, b, c, −9 成等比数列, 那么 ( ) 5分
   A. b = 3, ac = 9 B. b = −3, ac = 9 C. b = 3, ac = −9 D. b = −3, ac = −9
7. 7. 设A, B, C, D 是空间四个不同的点, 在下列命题中, 不正确的是 ( ) 5分
   A. 若AC 与BD 共面, 则AD 与BC 共面 B. 若AC 与BD 是异面直线, 则AD 与BC 是异面直线 C. 若AB = AC, DB = DC 则AD = BC D. 若AB = AC, DB = DC 则AD ⊥BC
8. 8. 如图为某三岔路口交通环岛的简化模型, 在某高峰时段, 单位时间进出路 口A, B, C, 的机动车辆数如图所示, 图中x1, x2, x3 分别表示该时段单 位时间通过路段˜ AB, ¯ BC, ˜ CA 的机动车辆数(假设: 单位时间内, 在上述 路段中, 同一路段上驶入与驶出的车辆数相等), 则x1, x2, x3 的大小关系 是 ( ) 20 30 A C 50 x3 x1 x2 55 B 30 35 5分
   A. x1 > x2 > x3 (B) x1 > x3 > x2 (C) x2 > x3 > x1 (D) x3 > x2 > x1

填空题（每题 5 分）（共 6 题）

1. 1. 若三点A(2, 2), B(a, 0), C(0, 4) 共线, 则a 的值等于 . 5分
2. 2. 在 ( x −2 x )7 的展开式中, x3 的系数是 . (用数字作答) 5分
3. 3. 已知函数f(x) = ax −4a + 3 的反函数的图象经过点(−1, 2), 那么a 的值 等于 . 5分
4. 4. 已知向量#»a = (cos α, sin α), #»b = (cos β, sin β), 且#»a̸ = ±#»b , 那么#»a + #»b 与#»a −#»b 的夹角的大小是 . 5分
5. 5. 在△ABC 中, ∠A, ∠B, ∠C 所对的边长分别为a, b, c 若sin A : sin B : sin C = 5 : 7 : 8, 则a : b : c = , ∠B 的大小是 . 5分
6. 6. 已知点P(x, y) 的坐标满足条件        x + y ⩽4, y ⩾x, x ⩾1, 点O 为坐标原点, 那么|PO| 的最小值等于 , 最大值等于 . 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 已知函数f(x) = 1 −sin 2x cos x . (1) 求f(x) 的定义域; (2) 设α 是第四象限的角, 且tan α = −4 3, 求f(α) 的值.
2. 2. 已知函数f(x) = ax3 + bx2 + cx 在点x0 处取得极大值5, 其导函数 y = f ′(x) 的图象经过点(1, 0), (2, 0), 如图所示, 求: (1) x0 的值; (2) a, b, c 的值. y x 2 O 1
3. 3. 如图, ABCD −A1B1C1D1 是正四棱柱. (1) 求证: BD ⊥平面ACC1A1; (2) 若二面角C1 −BD −C 的大小为60◦, 求异面直线BC1 与AC 所成角 的大小. A B C D A1 B1 C1 D1 282
4. 4. 某公司招聘员工, 指定三门考试课程, 有两种考试方案. 方案一: 考试三门课程, 至少有两门及格为考试通过; 方案二: 在三门课程中, 随机选取两门, 这两门都及格为考试通过. 假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是0.5, 0.6, 0.9, 且三门 课程考试是否及格相互之间没有影响. (1) 该应聘者用方案一考试通过的概率; (2) 该应聘者用方案二考试通过的概率.
5. 5. 椭圆C: x2 a2 + y2 b2 = 1 (a > b > 0) 的两个焦点为F1, F2, 点P 在椭圆C 上, 且PF1 ⊥F1F2, |PF1| = 4 3, |PF2| = 14 3 . (1) 求椭圆C 的方程; (2) 若直线l 过圆x2 + y2 + 4x −2y = 0 的圆心M, 交椭圆C 于A, B 两 点, 且A、B 关于点M 对称, 求直线l 的方程.
6. 6. 设等差数列{an} 的首项a1 及公差d 都为整数, 前n 项和为Sn. (1) 若a11 = 0, S14 = 98, 求数列{an} 的通项公式; (2) 若a1 ⩾6, a11 > 0, S14 ⩾77, 求所有可能的数列{an} 的通项公式. 283

原卷配图（含真实几何/应用题图示）