2006年北京（理科）

本卷为官方高考数学真题（2006年北京（理科）），共 20 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 8 题）

1. 1. 在复平面内, 复数1 + i i 对应的点位于 ( ) 5分
   A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2. 2. 若#»a 与#»b −#»c 都是非零向量, 则“#»a · #»b = #»a · #»c ”是“#»a ⊥(#»b −#»c )”的( ) 5分
   A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 3. 在1, 2, 3, 4, 5 这五个数字组成的没有重复数字的三位数中, 各位数字之和 为奇数的共有 ( ) 5分
   A. 36 个 B. 24 个 C. 18 个 D. 6 个
4. 4. 平面α 的斜线AB 交α 于点B, 过定点A 的动直线l 与AB 垂直, 且交 α 于点C, 则动点C 的轨迹是 ( ) 5分
   A. 一条直线 B. 一个圆 C. 一个椭圆 D. 双曲线的一支
5. 5. 已知f(x) = { (3a −1)x + 4a, x < 1, logax, x ⩾1, 是(−∞, +∞) 上的减函数, 那么a 的取值范围是 ( ) (B) ( 0, 1 3 ) (C) [1 7, 1 3 ) (D) [1 7, 1 ) 5分
   A. (0, 1)
6. 6. 在下列四个函数中, 满足性质: “对于区间(1, 2) 上的任意x1, x2 (x1̸ = x2), |f(x1) −f(x2)| < |x2 −x1| 恒成立”的只有 ( ) x 5分
   A. f(x) = 1 B. f (x) = |x| C. f(x) = 2x D. f(x) = x2
7. 7. 设f(n) = 2 + 24 + 27 + 210 + · · · + 23n+10 (n ∈N), 则f(n) 等于 ( ) 7(8n −1) 7(8n+1 −1) 7(8n+3 −1) 7(8n+4 −1) 5分
   A. 2 B. 2 C. 2 D. 2
8. 8. 如图为某三岔路口交通环岛的简化模型, 在某高峰时段, 单位时间进出路 口A, B, C, 的机动车辆数如图所示, 图中x1, x2, x3 分别表示该时段单 位时间通过路段˜ AB, ¯ BC, ˜ CA 的机动车辆数(假设: 单位时间内, 在上述 路段中, 同一路段上驶入与驶出的车辆数相等), 则x1, x2, x3 的大小关系 是 ( ) 20 30 A C 50 x3 x1 x2 55 B 30 35 5分
   A. x1 > x2 > x3 (B) x1 > x3 > x2 (C) x2 > x3 > x1 (D) x3 > x2 > x1

填空题（每题 5 分）（共 6 题）

1. 1. lim x→−1 x2 + 3x + 2 x2 −1 的值等于 . 5分
2. 2. 在 (√x −2 x )7 的展开式中, x2 的系数为 . (用数字作答) 5分
3. 3. 若三点A(2, 2), B(a, 0), C(0, b) (ab̸ = 0) 共线, 则1 . 5分
   A. + 1 B. 的值等于
4. 4. 在△ABC 中, 若sin A : sin B : sin C = 5 : 7 : 8, 则∠B 的大小是 . 5分
5. 5. 已知点P(x, y) 的坐标满足条件        x + y ⩽4, y ⩾x, x ⩾1, 点O 为坐标原点, 那么|PO| 的最小值等于 , 最大值等于 . 5分
6. 6. 已知A, B, C 三点在球心为O, 半径为R 的球面上, AC ⊥BC, 且 AB = R, 那么A, B 两点的球面距离为 , 球心到平面ABC 的距 离为 . 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 已知函数f(x) = 1 − √ 2 sin ( 2x −π 4 ) cos x . (1) 求f(x) 的定义域; (2) 设α 是第四象限的角, 且tan α = −4 3, 求f(α) 的值.
2. 2. 已知函数f(x) = ax3 + bx2 + cx 在点x0 处取得极大值5, 其导函数 y = f ′(x) 的图象经过点(1, 0), (2, 0), 如图所示, 求: (1) x0 的值; (2) a, b, c 的值. y x 2 O 1
3. 3. 如图, 在底面为平行四边形的四棱锥P −ABCD 中, AB ⊥AC, PA ⊥平 面ABCD, 且PA = AB, 点E 是PD 的中点. (1) 求证: AC ⊥PB; (2) 求证: PB 平面AEC; (3) 求二面角E −AC −B 的大小. A B C D P E 280
4. 4. 某公司招聘员工, 指定三门考试课程, 有两种考试方案. 方案一: 考试三门课程, 至少有两门及格为考试通过; 方案二: 在三门课程中, 随机选取两门, 这两门都及格为考试通过. 假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是a, b, c, 且三门课程 考试是否及格相互之间没有影响. (1) 分别求该应聘者用方案一和方案二时考试通过的概率; (2) 试比较该应聘者在上述两种方案下考试通过的概率的大小. (说明理由)
5. 5. 已知点M(−2, 0), N(2, 0), 动点P 满足条件|PM| −|PN| = 2 √ 2. 记动点 P 的轨迹为W. (1) 求W 的方程; (2) 若A, B 是W 上的不同两点, O 是坐标原点, 求# » OA · # » OB 的最小值.
6. 6. 在数列{an} 中, 若a1, a2 是正整数, 且an = |an−1 −an−2|, n = 3, 4, 5, · · · , 则称{an} 为“绝对差数列”. (1) 举出一个前五项不为零的“绝对差数列”(只要求写出前〸项); (2) 若“绝对差数列”{an} 中, a20 = 3, a21 = 0, 数列{bn} 满足bn = an + an+1 + an+2, n = 1, 2, 3, · · · , 分别判断当n →∞时, an 与bn 的极限是否存在, 如果存在, 求出其极限值; (3) 证明: 任何“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项. 281

原卷配图（含真实几何/应用题图示）