2006年四川（文科）

本卷为官方高考数学真题（2006年四川（文科）），共 22 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 12 题）

1. 1. 已知集合A = {x | x2 −5x + 6 ⩽0}, 集合B = {x | |2x −1| > 3}, 则集合 ( ) 5分
   A. ∩B = A. {x | 2 ⩽x ⩽3} B. {x | 2 ⩽x < 3} C. {x | 2 < x ⩽3} D. {x | −1 < x < 3}
2. 2. 函数f(x) = ln(x −1) (x > 1) 的反函数是 ( ) 5分
   A. f −1(x) = ex + 1 (x ∈R) B. f −1(x) = 10x + 1 (x ∈R) C. f −1(x) = 10x + 1 (x > 1) D. f −1(x) = ex + 1 (x > 1)
3. 3. 曲线y = 4x −x3 在点(−1, −3) 处的切线方程是 ( ) 5分
   A. y = 7x + 4 B. y = 7x + 2 C. y = x −4 D. y = x −2
4. 4. 如图, 已知正六边形P1P2P3P4P5P6, 下列向量的数量积中最大的是 ( ) P5 P4 P3 P2 P1 P6 P1P2 · # » P1P3 P1P2 · # » P1P4 P1P2 · # » P1P5 P1P2 · # » P1P6 5分
   A. # » B. # » C. # » D. # »
5. 5. 甲校有3600 名学生, 乙校有5400 名学生, 丙校有1800 名学生, 为统计三 校学生某方面的情况, 计划采用分层抽样法, 抽取一个容量为90 人的样本, 应在这三校分别抽取学生 ( ) 5分
   A. 30 人, 30 人, 30 人 B. 30 人, 45 人, 15 人 C. 20 人, 30 人, 10 人 D. 30 人, 50 人, 10 人
6. 6. 下列函数中, 图象的一部分如图所示的是 ( ) x π 12 −π 6 1 −1 y O ( x + π 6 ) ( 2x −π 6 ) ( 4x −π 3 ) ( 2x −π 6 ) 5分
   A. y = sin B. y = sin C. y = cos D. y = cos
7. 7. 已知二面角α −l −β 的大小为60◦, m、n 为异面直线, 且m ⊥α, n ⊥β, 则m、n 所成的角为 ( ) 5分
   A. 30◦ B. 60◦ C. 90◦ D. 120◦
8. 8. 已知两定点A(−2, 0)、B(1, 0), 如果动点P 满足|PA| = 2|PB|, 则点P 的 轨迹所包围的图形的面积等于 ( ) 5分
   A. 9π B. 8π C. 4π D. π
9. 9. 如图, 正四棱锥P −ABCD 底面的四个顶点A、B、C、D 在球O 的同一 个大圆上, 点P 在球面上, 如果VP −ABCD = 16 3 , 则球O 的表面积是( ) •O P A B D C 5分
   A. 4π B. 8π C. 12π D. 16π
10. 10. 直线y = x −3 与抛物线y2 = 4x 交于A、B 两点, 过A、B 两点向抛物 线的准线作垂线, 垂足分别为P、Q, 则梯形APQB 的面积为 ( ) 5分
    A. 36 B. 48 C. 56 D. 64
11. 11. 设a、b、c 分别是△ABC 的三个内角A、B、C 所对的边, 则a2 = b(b+c) 是A = 2B 的 ( ) 5分
    A. 充要条件 B. 充分而不必要条件 C. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
12. 12. 从0 到9 这10 个数字中任取3 个数字组成一个没有重复数字的三位数, 这个数不能被3 整除的概率为 ( ) 60 54 54 54 5分
    A. 41 B. 38 C. 35 D. 19

填空题（每题 5 分）（共 4 题）

1. 1. (1 −2x)10 展开式中的x3 的系数为 . (用数字作答) 5分
2. 2. 设x、y 满足约束条件          x ⩾1, y ⩾1 2x, 2x + y ⩽10, 则z = 2x −y 的最小值为 . 5分
3. 3. 如图, 把椭圆x2 25 + y2 16 = 1 的长轴AB 分成8 等分, 过每个分点作x 轴的 垂线交椭圆的上半部分于P1、P2、· · · 、P7 七个点, F 是椭圆的一个焦点, 则|P1F| + |P2F| + · · · + |P7F| = . x P1 P7 P2 P6 P3 P5 F P4 A B y O 5分
4. 4. m、n 是空间两条不同直线, α、β 是两个不同平面, 下面有四个命题: ①m ⊥α, n β, α β ⇒m ⊥n; ②m ⊥n, α β, m ⊥α ⇒n β; ③m ⊥n, α β, m α ⇒n ⊥β; ④m ⊥α, m n, α β ⇒n ⊥β. 其中真命题的编号是 . (写出所有真命题的编号) 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 数列{an} 的前n 项和记为Sn, a1 = 1, an+1 = 2Sn + 1 (n ⩾1). (1) 求{an} 的的通项公式; (2) 等差数列{bn} 的各项为正, 其前n 项和为Tn, 且T3 = 15, 又a1 + b1, a2 + b2, a3 + b3 成等比数列, 求Tn. 334
2. 2. 已知A、B、C 是△ABC 三内角, 向量m = (−1, √ 3), n = (cos A, sin A), 且m · n = 1. (1) 求角A; (2) 若 1 + sin 2B cos2 B −sin2 B = −3, 求tan C.
3. 3. 某课程考核分理论和实验两部分进行, 每部分考核成绩只记“合格”与“不合 格”, 两部分考核都“合格”则该课程考核“合格”. 甲、乙、丙三人在理论考核 中合格的概率分别为0.9、0.8、0.7; 在实验考核中合格的概率分别为0.8、 0.7、0.9. 所有考核是否合格互相之间没有影响. (1) 求甲、乙、丙三人在理论考核中至少有两人合格的概率; (2) 求这三人该课程考核都合格的概率. (结果保留三位小数)
4. 4. 如图, 在长方体ABCD −A1B1C1D1 中, E、P 分别是BC、A1D1 的中 点, M N 分别是AE CD1 的中点, AD = AA1 = a, AB = 2a. (1) 求证: MN 面ADD1A1; (2) 求二面角P −AE −D 的大小. A1 B1 C1 A B C E M N D P D1
5. 5. 已知函数f(x) = x3 + 3ax −1, g(x) = f ′(x) −ax −5, 其中f ′(x) 是f(x) 的导函数. (1) 对满足−1 ⩽a ⩽1 的一切a 的值, 都有g(x) < 0, 求实数x 的取值范 围; (2) 设a = −m2, 当实数m 在什么范围内变化时, 函数y = f(x) 的图像与 直线y = 3 只有一个公共点.
6. 6. 已知两定点F1(− √ 2, 0), F2( √ 2, 0), 满足条件 # » PF2  − # » PF1  = 2 的点P 的轨迹是曲线E, 直线y = kx −1 与曲线E 交于A、B 两点. (1) 求k 的取值范围; (2) 如果 # » AB  = 6 √ 3, 且曲线E 上存在点C, 使# » OA + # » OB = m# » OC, 求m 的值和△ABC 的面积S. 335

原卷配图（含真实几何/应用题图示）