2006年四川（理科）

本卷为官方高考数学真题（2006年四川（理科）），共 22 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 12 题）

1. 1. 已知集合A = {x | x2 −5x + 6 ⩽0}, 集合B = {x | |2x −1| > 3}, 则集合 ( ) 5分
   A. ∩B = A. {x | 2 ⩽x ⩽3} B. {x | 2 ⩽x < 3} C. {x | 2 < x ⩽3} D. {x | −1 < x < 3}
2. 2. 复数(1 −i)3 的虚部为 ( ) 5分
   A. 3 B. −3 C. 2 D. −2
3. 3. 已知f(x) = { 2x + 3, x̸ = 1, 2, x = 1, 下面结论正确的是 ( ) x→1−f(x) = 2 x→1+ f(x) = 5 5分
   A. f(x) 在x = 1 处连续 B. f(1) = 5 C. lim D. lim
4. 4. 已知二面角α −l −β 的大小为60◦, m、n 为异面直线, 且m ⊥α, n ⊥β, 则m、n 所成的角为 ( ) 5分
   A. 30◦ B. 60◦ C. 90◦ D. 120◦
5. 5. 下列函数中, 图象的一部分如图所示的是 ( ) x π 12 −π 6 1 −1 y O ( x + π 6 ) ( 2x −π 6 ) ( 4x −π 3 ) ( 2x −π 6 ) 5分
   A. y = sin B. y = sin C. y = cos D. y = cos
6. 6. 已知两定点A(−2, 0)、B(1, 0), 如果动点P 满足|PA| = 2|PB|, 则点P 的 轨迹所包围的图形的面积等于 ( ) 5分
   A. π B. 4π C. 8π D. 9π
7. 7. 如图, 已知正六边形P1P2P3P4P5P6, 下列向量的数量积中最大的是 ( ) P5 P4 P3 P2 P1 P6 P1P2 · # » P1P3 P1P2 · # » P1P4 P1P2 · # » P1P5 P1P2 · # » P1P6 5分
   A. # » B. # » C. # » D. # »
8. 8. 某厂生产甲产品每千克需用原料A 和原料B 分别为a1、b1 千克, 生产乙 产品每千克需用原料A 和原料B 分别为a2、b2 千克. 甲、乙产品每千克 可获利润分别为d1、d2 元. 月初一次性购进本月用原料A、B 各c1、c2 千克. 要计划本月生产甲产品和乙产品各多少千克才能使月利润总额达到 最大. 在这个问题中, 设全月生产甲、乙两种产品分别为x 千克、y 千克, 月利润总额为z 元, 那么, 用于求使总利润z = d1x + d2y 最大的数学模型 中, 约束条件为 ( ) (A)              a1x + a2y ⩾c1, b1x + b2y ⩾c2, x ⩾0, y ⩾0. (B)              a1x + b1y ⩽c1, a2x + b2y ⩽c2, x ⩾0, y ⩾0. (C)              a1x + a2y ⩽c1, b1x + b2y ⩽c2, x ⩾0, y ⩾0. (D)              a1x + a2y = c1, b1x + b2y = c2, x ⩾0, y ⩾0. 5分
9. 9. 直线y = x −3 与抛物线y2 = 4x 交于A、B 两点, 过A、B 两点向抛物 线的准线作垂线, 垂足分别为P、Q, 则梯形APQB 的面积为 ( ) 5分
   A. 48 B. 56 C. 64 D. 72
10. 10. 已知球O 的半径是1, A、B、C 三点都在球面上, A、B 两点和A、C 两 点的球面距离都是π 4 , B、C 两点的球面距离是π 3 , 则二面角B −OA −C 的大小是 ( ) 4 3 2 3 5分
    A. π B. π C. π D. 2π
11. 11. 设a、b、c 分别是△ABC 的三个内角A、B、C 所对的边, 则a2 = b(b+c) 是A = 2B 的 ( ) 5分
    A. 充要条件 B. 充分而不必要条件 C. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
12. 12. 从0 到9 这10 个数字中任取3 个数字组成一个没有重复数字的三位数, 这个数不能被3 整除的概率为 ( ) 54 54 54 60 5分
    A. 19 B. 35 C. 38 D. 41

填空题（每题 5 分）（共 4 题）

1. 1. 在三棱锥O −ABC 中, 三条棱OA、OB、OC 两两互相垂直, 且OA = OB = OC, M 是AB 边的中点, 则OM 与平面ABC 所成角的大小 是 . (用反三角函数表示) 5分
2. 2. 设离散型随机变量ξ 可能取的值为1, 2, 3, 4. P(ξ = k) = ak + b (k = 1, 2, 3, 4). 又ξ 的数学期望Eξ = 3, 则a + b = . 5分
3. 3. 如图, 把椭圆x2 25 + y2 16 = 1 的长轴AB 分成8 等分, 过每个分点作x 轴的 垂线交椭圆的上半部分于P1、P2、· · · 、P7 七个点, F 是椭圆的一个焦点, 则|P1F| + |P2F| + · · · + |P7F| = . x P1 P7 P2 P6 P3 P5 F P4 A B y O 5分
4. 4. 非空集合G 关于运算⊕满足: (1) 对任意a、b ∈G, 都有a ⊕b ∈G; (2) 存在e ∈G, 使得对一切a ∈G, 都有a ⊕e = e ⊕a = a, 则称G 关于运算 ⊕为“融洽集”. 现给出下列集合和运算: ①G ={非负整数}, ⊕为整数的加法; ②G ={偶数}, ⊕为整数的乘法; ③G ={平面向量}, ⊕为平面向量的加法; ④G ={二次三项式}, ⊕为多项式的加法; ⑤G ={虚数}, ⊕为复数的乘法. 其中G 关于运算⊕为“融洽集”的是 . (写出所有“融洽集”的序号) 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 已知A、B、C 是△ABC 三内角, 向量m = (−1, √ 3), n = (cos A, sin A), 且m · n = 1. (1) 求角A; (2) 若 1 + sin 2B cos2 B −sin2 B = −3, 求tan C. 332
2. 2. 某课程考核分理论和实验两部分进行, 每部分考核成绩只记“合格”与“不合 格”, 两部分考核都“合格”则该课程考核“合格”. 甲、乙、丙三人在理论考核 中合格的概率分别为0.9、0.8、0.7; 在实验考核中合格的概率分别为0.8、 0.7、0.9. 所有考核是否合格互相之间没有影响. (1) 求甲、乙、丙三人在理论考核中至少有两人合格的概率; (2) 求这三人该课程考核都合格的概率. (结果保留三位小数)
3. 3. 如图, 在长方体ABCD −A1B1C1D1 中, E、P 分别是BC、A1D1 的中 点, M N 分别是AE CD1 的中点, AD = AA1 = a, AB = 2a. (1) 求证: MN 面ADD1A1; (2) 求二面角P −AE −D 的大小; (3) 求三棱锥P −DEN 的体积. A1 B1 C1 A B C E M N D P D1
4. 4. 已知数列{an}, 其中a1 = 1, a2 = 3, 2an = an+1 + an−1 (n ⩾2). 记数列 {an} 的前n 项和为Sn, 数列{ln Sn} 的前n 项和为Un. (1) 求Un; (2) 设Fn(x) = eUn 2n(n!)2 x2n (x > 0), Tn(x) = n ∑ k=1 k(x) (其中F ′ k(x) 为 Fk(x) 的导函数), 计算lim n→∞ Tn(x) Tn+1(x).
5. 5. 已知两定点F1(− √ 2, 0), F2( √ 2, 0), 满足条件 # » PF2  − # » PF1  = 2 的点 P 的轨迹是曲线E, 直线y = kx −1 与曲线E 交于A、B 两点. 如果 # » AB  = 6 √ 3, 且曲线E 上存在点C, 使# » OA + # » OB = m# » OC, 求m 的值和 △ABC 的面积S.
6. 6. 已知函数f(x) = x2 + 2 x + a ln x (x > 0), f(x) 的导函数是f ′(x). 对任意 两个不相等的正数x1、x2, 证明: (1) 当a ⩽0 时, f(x1) + f(x2) 2 > f (x1 + x2 2 ) ; (2) 当a ⩽4 时, |f ′(x1) −f ′(x2)| > |x1 −x2|. 333

原卷配图（含真实几何/应用题图示）