2006年天津（文科）

本卷为官方高考数学真题（2006年天津（文科）），共 22 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 10 题）

1. 1. 已知集合A = {x | −3 ⩽x ⩽1}, B = {x | |x| ⩽2}, 则A ∩B = ( ) 5分
   A. {x | −2 ⩽x ⩽1} B. {x | 0 ⩽x ⩽1} C. {x | −3 ⩽x ⩽2} D. {x | 1 ⩽x ⩽2}
2. 2. 设{an} 是等差数列, a1 + a3 + a5 = 9, a6 = 9, 则这个数列的前6 项和等 于 ( ) 5分
   A. 12 B. 24 C. 36 D. 48
3. 3. 设变量x、y 满足约束条件        y ⩽x, x + y ⩾2, y ⩾3x −6, 则目标函数z = 2x + y 的最小 值为 ( ) 5分
   A. 2 B. 3 C. 4 D. 9
4. 4. 设P = log2 3, Q = log3 2, R = log2(log3 2), 则 ( ) 5分
   A. R < Q < P B. P < R < Q C. Q < R < P D. R < P < Q
5. 5. 设α、β ∈ ( −π 2 , π 2 ) , 那么“α < β”是“tan α < tan β”的 ( ) 5分
   A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
6. 6. 函数y = √ x2 + 1 + 1 (x < 0) 的反函数是 ( ) √ x2 −2x (x < 0) √ x2 −2x (x < 0) √ x2 −2x (x > 2) √ x2 −2x (x > 2) 5分
   A. y = B. y = − C. y = D. y = −
7. 7. 若l 为一条直线, α、β、γ 为三个互不重合的平面, 给出下面三个命题: ①α ⊥γ, β ⊥γ ⇒α ⊥β; ②α ⊥γ, β γ ⇒α ⊥β; ③l α, l ⊥β ⇒α ⊥β. 其中正确的命题有 ( ) 5分
   A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个
8. 8. 椭圆的中心为点E(−1, 0), 它的一个焦点为F(−3, 0), 相应于焦点F 的准 线方程为x = −7 2, 则这个椭圆的方程是 ( ) 21 + 2y2 3 = 1 21 + 2y2 3 = 1 5 + y2 = 1 5 + y2 = 1 5分
   A. 2(x −1)2 B. 2(x + 1)2 C. (x −1)2 D. (x + 1)2
9. 9. 已知函数f(x) = a sin x −b cos x (a、b 为常数, a̸ = 0, x ∈R) 的图象关于 直线x = π 4 对称, 则函数y = f (3π 4 −x ) 是 ( ) (3π 2 , 0 ) 对称 (3π 2 , 0 ) 对称 5分
   A. 偶函数且它的图象关于点(π, 0) 对称 B. 偶函数且它的图象关于点 C. 奇函数且它的图象关于点 D. 奇函数且它的图象关于点(π, 0) 对称
10. 10. 如果函数f(x) = ax(ax −3a2 −1) (a > 0 且a̸ = 1) 在区间[0, +∞) 上是 增函数, 那么实数a 的取值范围是 ( ) (A) ( 0, 2 3 ] (B) [√ 3 3 , 1 ) (C) ( 1, √ 3 ] (D) [3 2, +∞ ) 5分

填空题（每题 5 分）（共 6 题）

1. 1. ( x + 1 √x )7 的二项展开式中x 的系数是 . (用数字作答) 5分
2. 2. 设向量a 与b 的夹角为θ, 且a = (3, 3), 2b−a = (−1, 1), 则cos θ = . 5分
3. 3. 如图, 在正三棱柱ABC −A1B1C1 中, AB = 1. 若二面角C −AB −C1 的 大小为60◦, 则点C 到平面ABC1 的距离为 . A B C A1 B1 C1 5分
4. 4. 若半径为1 的圆分别与y 轴的正半轴和射线y = √ 3 3 x (x ⩾0) 相切, 则这 个圆的方程为 . 5分
5. 5. 某公司一年购买某种货物400 吨, 每次都购买x 吨, 运费为4 万元/次, 一 年的总存储费用为4x 万元, 要使一年的总运费与总存储费用之和最小, 则 x = 吨. 5分
6. 6. 用数字0、1、2、3、4 组成没有重复数字的五位数, 则其中数字1、2 相邻 的偶数有 个. (用数字作答) 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 已知tan α + cot α = 5 2, α ∈ (π 4 , π 2 ) , 求cos 2α 和sin ( 2α + π 4 ) 的值.
2. 2. 甲、乙两台机床相互没有影响地生产某种产品, 甲机床产品的正品率是0.9, 乙机床产品的正品率是0.95. (1) 从甲机床生产的产品中任取3 件, 求其中恰有2 件正品的概率(用数字 作答); (2) 从甲、乙两台机床生产的产品中各任取1 件, 求其中至少有1 件正品 的概率(用数字作答).
3. 3. 如图, 在五面体ABCDEF 中, 点O 是矩形ABCD 的对角线的交点, 面 CDE 是等边三角形, 棱EF BC 且EF = 1 2BC. (1) 证明: FO 平面CDE; (2) 设BC = √ 3CD, 证明: EO ⊥平面CDF. A B C D E F O 338
4. 4. 已知函数f(x) = 4x3−3x2 cos θ+ 1 32, 其中x ∈R, θ 为参数, 且0 ⩽θ ⩽π 2 . (1) 当cos θ = 0 时, 判断函数f(x) 是否有极值; (2) 要使函数f(x) 的极小值大于零, 求参数θ 的取值范围; (3) 若对(2) 中所求的取值范围内的任意参数θ, 函数f(x) 在区间 (2a −1, a) 内都是增函数, 求实数a 的取值范围.
5. 5. 已知数列{xn} 满足x1 = x2 = 1, 并且xn+1 xn = λ xn xn−1 (λ 为非零参数, n = 2, 3, 4, · · · ). (1) 若x1, x3, x5 成等比数列, 求参数λ 的值; (2) 设0 < λ < 1, 常数k ∈N∗且k ⩾3, 证明: x1+k x1 + x2+k x2 +· · ·+ xn+k xn < λk 1 −λk (n ∈N∗).
6. 6. 如图, 双曲线x2 a2 −y2 b2 = 1 (a > 0, b > 0) 的离心率为 √ 5 2 , F1、F2 分别为左、 右焦点, M 为左准线与渐近线在第二象限内的交点, 且# » F1M · # » F2M = −1 4. (1) 求双曲线的方程; (2) 设A(m, 0) 和B ( 1 m, 0 ) (0 < m < 1) 是x 轴上的两点. 过点A 作斜 率不为0 的直线l, 使得l 交双曲线于C、D 两点, 作直线BC 交双曲线 于另一点E. 证明: 直线DE 垂直于x 轴. x D E y B C A M F1 F2 O 339

原卷配图（含真实几何/应用题图示）