2006年天津（理科）

本卷为官方高考数学真题（2006年天津（理科）），共 22 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 10 题）

1. 1. i 是虚数单位, i 1 + i = ( ) 2 + 1 2i 2 + 1 2i 2 −1 2i 2 −1 2i 5分
   A. 1 B. −1 C. 1 D. −1
2. 2. 如果双曲线的两个焦点分别为F1(−3, 0)、F2(3, 0), 一条渐近线方程为 y = √ 2x, 那么它的两条渐近线间的距离是 ( ) √ 3 5分
   A. 6 B. 4 C. 2 D. 1
3. 3. 设变量x、y 满足约束条件        y ⩽x, x + y ⩾2, y ⩾3x −6, 则目标函数z = 2x + y 的最小 值为 ( ) 5分
   A. 2 B. 3 C. 4 D. 9
4. 4. 设集合M = {x | 0 < x ⩽3}, N = {x | 0 < x ⩽2}, 那么“a ∈M”是 “a ∈N”的 ( ) 5分
   A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 5. 将4 个颜色互不相同的球全部放入编号为1 和2 的两个盒子里, 使得放入 每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号, 则不同的放球方法有 ( ) 5分
   A. 10 种 B. 20 种 C. 36 种 D. 52 种
6. 6. 设m、n 是两条不同的直线, α、β 是两个不同的平面. 考查下列命题, 其 中正确的命题是 ( ) β, m ⊥α, n β ⇒m ⊥n β ⇒m ⊥n 5分
   A. m ⊥α, n ⊂β, m ⊥n ⇒α ⊥β B. α C. α ⊥β, m ⊥α, n D. α ⊥β, α ∩β = m, n ⊥m ⇒n ⊥β
7. 7. 已知数列{an}、{bn} 都是公差为1 的等差数列, 其首项分别为a1、b1, 且 a1 + b1 = 5, a1, b1 ∈N∗. 设Cn = abn (n ∈N∗), 则数列{Cn} 的前10 项 和等于 ( ) 5分
   A. 55 B. 70 C. 85 D. 100
8. 8. 已知函数f(x) = a sin x −b cos x (a、b 为常数, a̸ = 0, x ∈R) 在x = π 4 处 取得最小值, 则函数y = f (3π 4 −x ) 是 ( ) (3π 2 , 0 ) 对称 (3π 2 , 0 ) 对称 5分
   A. 偶函数且它的图象关于点(π, 0) 对称 B. 偶函数且它的图象关于点 C. 奇函数且它的图象关于点 D. 奇函数且它的图象关于点(π, 0) 对称
9. 9. 函数f(x) 的定义域为开区间(a, b), 导函数f ′(x) 在(a, b) 内的图像如图 所示, 则函数f(x) 在开区间(a, b) 内有极小值点 ( ) a b y = f ′(x) x y O 5分
   A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个
10. 10. 已知函数y = f(x) 的图象与函数y = ax (a > 0 且a̸ = 1) 的图象关于直 线y = x 对称, 记g(x) = f(x)[f(x)+f(2)−1]. 若y = g(x) 在区间 [1 2, 2 ] 上是增函数, 则实数a 的取值范围是 ( ) (C) [1 2, 1 ) (D) ( 0, 1 2 ] 5分
    A. [2, +∞) B. (0, 1) ∪(1, 2)

填空题（每题 5 分）（共 6 题）

1. 1. ( 2x + 1 √x )7 的二项展开式中x 的系数是 . (用数字作答) 5分
2. 2. 设向量a 与b 的夹角为θ, 且a = (3, 3), 2b−a = (−1, 1), 则cos θ = . 5分
3. 3. 如图, 在正三棱柱ABC −A1B1C1 中, AB = 1. 若二面角C −AB −C1 的 大小为60◦, 则点C 到平面ABC1 的距离为 . A B C A1 B1 C1 5分
4. 4. 设直线ax −y + 3 = 0 与圆(x −1)2 + (y −2)2 = 4 相交于A、B 两点, 且 弦AB 的长为2 √ 3, 则a = . 5分
5. 5. 某公司一年购买某种货物400 吨, 每次都购买x 吨, 运费为4 万元/次, 一 年的总存储费用为4x 万元, 要使一年的总运费与总存储费用之和最小, 则 x = 吨. 5分
6. 6. 设函数f(x) = 1 x + 1, 点A0 表示坐标原点, 点An(n, f(n)) (n ∈N∗). 若 向量# » an = # » A0A1 + # » A1A2 + · · · + # » An−1An, θn 是# » an 与#»i 的夹角(其中 #»i = (1, 0)), 设Sn = tan θ1 + tan θ2 + · · · + tan θn, 则lim n→∞Sn = . 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 如图, 在△ABC 中, AC = 2, BC = 1, cos C = 3 4. (1) 求AB 的值; (2) 求sin(2A + C) 的值. A B C
2. 2. 某射手进行射击训练, 假设每次射击击中目标的概率为3 5, 且每次射击的 结果互不影响. (1) 求射手在3 次射击中, 至少有两次连续击中目标的概率(用数字作答); (2) 求射手第3 次击中目标时, 恰好射击了4 次的概率(用数字作答); (3) 设随机变量ξ 表示射手第3 次击中目标时已射击的次数, 求ξ 的分布 列. 336
3. 3. 如图, 在五面体ABCDEF 中, 点O 是矩形ABCD 的对角线的交点, 面 CDE 是等边三角形, 棱EF BC 且EF = 1 2BC. (1) 证明: FO 平面CDE; (2) 设BC = √ 3CD, 证明: EO ⊥平面CDF. A B C D E F O
4. 4. 已知函数f(x) = 4x3 −3x2 cos θ + 3 16 cos θ, 其中x ∈R, θ 为参数, 且 0 ⩽θ < 2π. (1) 当cos θ = 0 时, 判断函数f (x) 是否有极值; (2) 要使函数f(x) 的极小值大于零, 求参数θ 的取值范围; (3) 若对(2) 中所求的取值范围内的任意参数θ, 函数f(x) 在区间 (2a −1, a) 内都是增函数, 求实数a 的取值范围.
5. 5. 已知数列{xn}、{yn} 满足x1 = x2 = 1, y1 = y2 = 2, 并且xn+1 xn = λ xn xn−1 , yn+1 yn ⩾λ yn yn−1 (λ 为非零参数, n = 2, 3, 4, · · · ). (1) 若x1, x3, x5 成等比数列, 求参数λ 的值; (2) 当λ > 0 时, 证明: xn+1 yn+1 ⩽xn yn (n ∈N∗); (3) 当λ > 1, 证明: x1 −y1 x2 −y2 + x2 −y2 x3 −y3 + · · · + xn −yn xn+1 −yn+1 < λ λ −1 (n ∈ N∗).
6. 6. 如图, 以椭圆x2 a2 + y2 b2 = 1 (a > b > 0) 的中心O 为圆心, 分别以a 和b 为 半径作大圆和小圆. 过椭圆右焦点F(c, o) (c > b) 作垂直于x 轴的直线交 大圆于第一象限内的点A. 连结OA 交小圆于点B. 设直线BF 是小圆的 切线. (1) 证明c2 = ab, 并求直线BF 与y 轴的交点M 的坐标; (2) 设直线BF 交椭圆于P、Q 两点, 证明: # » OP · # » OQ = 1 2b2. x P y B A Q F O 337

原卷配图（含真实几何/应用题图示）