2006年安徽（文科）

本卷为官方高考数学真题（2006年安徽（文科）），共 22 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 12 题）

1. 1. 设全集U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, 集合S = {1, 3, 5}, T = {3, 6}, 则 ∁U(S ∪T) 等于 ( ) 5分
   A. ∅ B. {2, 4, 7, 8} C. {1, 3, 5, 6} D. {2, 4, 6, 8}
2. 2. 不等式1 x < 1 2 的解集是 ( ) 5分
   A. (−∞, 2) B. (2, +∞) C. (0, 2) D. (−∞, 2) ∪(2, +∞)
3. 3. 函数y = ex+1 (x ∈R) 的反函数是 ( ) 5分
   A. y = 1 + ln x (x > 0) B. y = 1 −ln x (x > 0) C. y = −1 −ln x (x > 0) D. y = −1 + ln x (x > 0)
4. 4. “x > 3 ”是“x2 > 4 ”的 ( ) 5分
   A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 5. 若抛物线y2 = 2px 的焦点与椭圆x2 6 + y2 2 的右焦点重合, 则p 的值为( ) 5分
   A. −2 B. 2 C. −4 D. 4
6. 6. 表面积为2 √ 3 的正八面体的各个顶点都在同一球面上, 则此球的体积 为 ( ) (A) √ 2 3 π 3π 3π √ 2 3 π 5分
   B. 1 C. 2 D. 2
7. 7. 直线x + y = 1 与圆x2 + y2 −2ay = 0 (a > 0) 没有公共点, 则a 的取值 范围是 ( ) √ 2 −1) √ 2 −1, √ 2 + 1) √ 2 −1, √ 2 + 1) √ 2 + 1) 5分
   A. (0, B. ( C. (− D. (0,
8. 8. 对于函数f(x) = sin x + 1 sin x (0 < x < π), 下列结论正确的是 ( ) 5分
   A. 有最大值而无最小值 B. 有最小值而无最大值 C. 有最大值且有最小值 D. 既无最大值又无最小值
9. 9. 将函数y = sin ωx (ω > 0) 的图象按向量#»a = ( −π 6 , 0 ) 平移, 平移后的图 象如图所示, 则平移后的图象所对应的函数解析式是 ( ) 7π 12 1 −1 y O x ( x + π 6 ) ( x −π 6 ) ( 2x + π 3 ) ( 2x −π 3 ) 5分
   A. y = sin B. y = sin C. y = sin D. y = sin
10. 10. 如果实数x, y 满足条件        x −y + 1 ⩾0, y + 1 ⩾0, x + y + 1 ⩽0, 那么2x −y 的最大值为 ( ) 5分
    A. 2 B. 1 C. −2 D. −3
11. 11. 如果△A1B1C1 的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2 的三个内角的正 弦值, 则 ( ) 5分
    A. △A1B1C1 和△A2B2C2 都是锐角三角形 B. △A1B1C1 和△A2B2C2 都是钝角三角形 C. △A1B1C1 是钝角三角形, △A2B2C2 是锐角三角形 D. △A1B1C1 是锐角三角形, △A2B2C2 是钝角三角形
12. 12. 在正方体上任选3 个顶点连成三角形, 则所得的三角形是直角非等腰三角 形的概率为 ( ) 7 7 7 7 5分
    A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

填空题（每题 5 分）（共 4 题）

1. 1. 设常数a > 0, ( ax2 + 1 √x )4 展开式中x3 的系数为3 2, 则a = . 5分
2. 2. 在平行四边形ABCD 中, # » AB = #»a , # » AD = #»b , # » AN = 3# » NC, M 为BC 的 中点, 则# » MN = . (用#»a , #»b 表示) 5分
3. 3. 函数f(x) 对于任意实数x 满足条件f(x + 2) = 1 f(x), 若f(1) = −5, 则 f(f(5)) = . 5分
4. 4. 平行四边形的一个顶点A 在平面α 内, 其余顶点在α 的同侧, 已知其中两 个顶点到α 的距离分别为1, 2, 那么剩下的一个顶点到平面α 的距离可能 是: ①1; ②2; ③3; ④4. 以上结论正确的是 . (写出所有正确结论的编号) 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 已知0 < α < π 2 , sin α = 4 5. (1) 求sin2 α + sin 2α cos2 α + cos 2α 的值; (2) 求tan ( α −5π 4 ) 的值.
2. 2. 在添加剂的搭配适用中, 为了找到最佳的搭配方案, 需要对各种不同的搭 配方式作比较, 在试制某种牙膏新品种时, 需要选用两种不同的添加剂. 现 有芳香度分别为0, 1, 2, 3, 4, 5 的六种添加剂可供选用. 根据试验设计学 原理, 通常首先要随机选取两种不同的添加剂进行搭配试验. (1) 求所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和等于4 的概率; (2) 求所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和不小于3 的概率.
3. 3. 如图, P 是边长为1 的正六边形ABCDEF 所在平面外一点, PA = 1, P 在平面ABC 内的射影为BF 的中点O. (1) 证明: PA ⊥BF; (2) 求面APB 与面DPB 所成二面角的大小. A B C D E F O P 278
4. 4. 设函数f (x) = x3 + bx2 + cx (x ∈R), 已知g(x) = f(x) −f ′(x) 是奇函数. (1) 求b、c 的值; (2) 求g(x) 的单调区间与极值.
5. 5. 在等差数列{an} 中, a1 = 1, 前n 项和Sn 满足条件S2n Sn = 4n + 2 n + 1 , n = 1, 2, · · · . (1) 求数列{an} 的通项公式; (2) 记bn = anpan (p > 0), 求数列{bn} 的前n 项和Tn.
6. 6. 如图, F 为双曲线C: x2 a2 −y2 b2 = 1 (a > 0, b > 0) 的右焦点, P 为双曲线 知四边形OFPM 为平行四边形, |PF| = λ|OF|. (1) 写出双曲线C 的离心率e 与λ 的关系式; (2) 当λ = 1 时, 经过焦点F 且平行于OP 的直线交双曲线于A、B 点, 若|AB| = 12, 求此时的双曲线方程. y x F O P M 279

原卷配图（含真实几何/应用题图示）