2006年安徽（理科）

本卷为官方高考数学真题（2006年安徽（理科）），共 22 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 12 题）

1. 1. 复数1 + √ 3i √ 3 −i 等于 ( ) (C) √ 3 + i (D) √ 3 −i 5分
   A. i B. −i
2. 2. 设集合A = {x | |x −2| ⩽2, x ∈R}, B = {y | y = −x2, −1 ⩽x ⩽2}, 则 ∁R(A ∩B) 等于 ( ) 5分
   A. R B. {x | x ∈R, x̸ = 0} C. {0} D. ∅
3. 3. 若抛物线y2 = 2px 的焦点与椭圆x2 6 + y2 2 的右焦点重合, 则p 的值为( ) 5分
   A. −2 B. 2 C. −4 D. 4
4. 4. 设a, b ∈R, 已知命题p: a = b; 命题q: 2 )2 ⩽a2 + b2 2 , 则p 是q 成立的 ( ) 5分
   A. + b A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 5. 函数y = { 2x, x ⩾0, −x2, x < 0, 的反函数是 ( )    x 2, x ⩾0, √ −x, x < 0. { 2x, x ⩾0, √ −x, x < 0.    x 2, x ⩾0, − √ −x, x < 0. { 2x, x ⩾0, − √ −x, x < 0. 5分
   A. y = B. y = C. y = D. y =
6. 6. 将函数y = sin ωx (ω > 0) 的图象按向量#»a = ( −π 6 , 0 ) 平移, 平移后的图 象如图所示, 则平移后的图象所对应的函数解析式是 ( ) 7π 12 1 −1 y O x ( x + π 6 ) ( x −π 6 ) ( 2x + π 3 ) ( 2x −π 3 ) 5分
   A. y = sin B. y = sin C. y = sin D. y = sin
7. 7. 若曲线y = x4 的一条切线l 与直线x+4y −8 = 0 垂直, 则l 的方程为( ) 5分
   A. 4x −y −3 = 0 B. x + 4y −5 = 0 C. 4x −y + 3 = 0 D. x + 4y + 3 = 0
8. 8. 设a > 0, 对于函数f(x) = sin x + a sin x (0 < x < π), 下列结论正确的是( ) 5分
   A. 有最大值而无最小值 B. 有最小值而无最大值 C. 有最大值且有最小值 D. 既无最大值又无最小值
9. 9. 表面积为2 √ 3 的正八面体的各个顶点都在同一球面上, 则此球的体积 为 ( ) (A) √ 2 3 π 3π 3π √ 2 3 π 5分
   B. 1 C. 2 D. 2
10. 10. 如果实数x, y 满足条件        x −y + 1 ⩾0, y + 1 ⩾0, x + y + 1 ⩽0, 那么2x −y 的最大值为 ( ) 5分
    A. 2 B. 1 C. −2 D. −3
11. 11. 如果△A1B1C1 的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2 的三个内角的正 弦值, 则 ( ) 5分
    A. △A1B1C1 和△A2B2C2 都是锐角三角形 B. △A1B1C1 和△A2B2C2 都是钝角三角形 C. △A1B1C1 是钝角三角形, △A2B2C2 是锐角三角形 D. △A1B1C1 是锐角三角形, △A2B2C2 是钝角三角形
12. 12. 在正方体上任选3 个顶点连成三角形, 则所得的三角形是直角非等腰三角 形的概率为 ( ) 7 7 7 7 5分
    A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

填空题（每题 5 分）（共 4 题）

1. 1. 设常数a > 0, ( ax2 + 1 √x )4 展开式中x3 的系数为3 2, 则lim n→∞(a + a2 + · · · + an) = . 5分
2. 2. 在平行四边形ABCD 中, # » AB = #»a , # » AD = #»b , # » AN = 3# » NC, M 为BC 的 中点, 则# » MN = . (用#»a , #»b 表示) 5分
3. 3. 函数f(x) 对于任意实数x 满足条件f(x + 2) = 1 f(x), 若f(1) = −5, 则 f(f(5)) = . 5分
4. 4. 多面体上, 位于同一条棱两端的顶点称为相邻的. 如图, 正方体的一个顶点 到α 的距离分别为1, 2 和4. P 是正方体的其余四个顶点中的一个, 则P 到平面α 的距离可能是: ①3; ②4; ③5; ④6; ⑤7. 以上结论正确的是 . (写出所有正确结论的编号) A D C B A1 α D1 C1 B1 5分
   A. 在平面α 内, 其余顶点在α 的同侧, 正方体上与顶点A 相邻的三个顶点

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 已知3π 4 < α < π, tan α + cot α = −10 3 . (1) 求tan α 的值; (2) 求 5sin2 α 2 + 8 sin α 2 cos α 2 + 11cos2 α 2 −8 √ 2 sin ( α −π 2 ) 的值.
2. 2. 在添加剂的搭配适用中, 为了找到最佳的搭配方案, 需要对各种不同的搭 配方式作比较, 在试制某种牙膏新品种时, 需要选用两种不同的添加剂. 现 有芳香度分别为0, 1, 2, 3, 4, 5 的六种添加剂可供选用. 根据实验设计学 原理, 通常首先要随机选取两种不同的添加剂进行搭配实验. 用ξ 表示所 选用的两种不同的添加剂的芳香度之和. (1) 写出ξ 的分布列; (以列表的形式给出结论, 不必写计算过程) (2) 求ξ 的数学期望Eξ. (要求写出计算过程或说明道理) 276
3. 3. 如图, P 是边长为1 的正六边形ABCDEF 所在平面外一点, PA = 1, P 在平面ABC 内的射影为BF 的中点O. (1) 证明: PA ⊥BF; (2) 求面APB 与面DPB 所成二面角的大小. A B C D E F O P
4. 4. 已知函数f(x) 在R 上有定义, 对任意实数a > 0 和任意实数x, 都有 f(ax) = af(x). (1) 证明f (0) = 0; (2) 证明f (x) = { kx, x ⩾0, hx, x < 0, 其中k 和h 均为常数; (3) 当(2) 中的k > 0 时, 设g (x) = 1 (0, +∞) 内的单调性并求极值.
5. 5. 数列{an} 的前n 项和为Sn, 已知a1 = 1 2, Sn = n2an −n(n −1), n = 1, 2, · · · . (1) 写出Sn 与Sn−1 的递推关系式(n ⩾2), 并求Sn 关于n 的表达式; (2) 设fn (x) = Sn n xn+1, bn = f ′ n (p) (p ∈R), 求数列{bn} 的前n 项和Tn.
6. 6. 如图, F 为双曲线C: x2 a2 −y2 b2 = 1 (a > 0, b > 0) 的右焦点, P 为双曲线 知四边形OFPM 为平行四边形, |PF| = λ|OF|. (1) 写出双曲线C 的离心率e 与λ 的关系式; (2) 当λ = 1 时, 经过焦点F 且平行于OP 的直线交双曲线于A、B 点, 若|AB| = 12, 求此时的双曲线方程. y x F O P M 277

原卷配图（含真实几何/应用题图示）