本卷为官方高考数学真题（2006年山东（文科）），共 22 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。
-
1. 定义集合运算:
(
) 5分
A. ⊙B = {z | z = xy(x + y), x ∈A, y ∈B }, 设集合
A. = {0, 1}, B = {2, 3}, 则集合A ⊙B 的所有元素之和为
A. 0
B. 6
C. 12
D. 18
-
2. 设f(x) =
{
2ex−1,
x < 2,
log3(x2 −1),
x ⩾2,
则f(f(2)) 的值为
(
) 5分
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
-
3. 函数y = 1 + ax (0 < a < 1) 的反函数的图象大致是
(
)
(A)
x
y
O
1
2
(B)
x
y
O
1
(C)
x
y
O
1
2
(D)
x
y
O
1 5分
-
4. 设向量a = (1, −3), b = (−2, 4), 若表示向量4a, 3b −2a, c 的有向线段首
尾相接能构成三边形, 则向量c 为
(
) 5分
A. (1, −1)
B. (−1, 1)
C. (−4, 6)
D. (4, −6)
-
5. 已知定义在R 上的奇函数f(x) 满足f(x + 2) = −f(x), 则f(6) 的值
为
(
) 5分
A. −1
B. 0
C. 1
D. 2
-
6. 在△ABC 中, 角A, B, C 的对边分别为a, b, c, 已知A = π
3 , a =
√
3,
(
)
(C)
√
3 −1
(D)
√
3 5分
B. = 1, 则c =
A. 1
B. 2
-
7. 在给定双曲线中, 过焦点且垂直于实轴的弦长为
√
2, 焦点到相应准线的距
离为1
2, 则该双曲线的离心率为
(
)
(A)
√
2
2
(C)
√
2
√
2 5分
B. 2
D. 2
-
8. 正方体的内切球与其外接球的体积之比为
(
)
√
3
√
3 5分
A. 1 :
B. 1 : 3
C. 1 : 3
D. 1 : 9
-
9. 设p: x2 −x −2 < 0, q:
1 + x
|x| −2 < 0, 则p 是q 的
(
) 5分
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
-
10. 已知
(
x2 −1
√x
)n
的展开式中第三项与第五项的系数之比为3
14, 则展开
式中常数项是
(
) 5分
A. −1
B. 1
C. −45
D. 45
-
11. 已知集合A = {5}, B = {1, 2}, C = {1, 3, 4}, 从这三个集合各取一个元
素构成空间直角坐标系中点的坐标, 则确定的不同点的个数为
(
) 5分
A. 33
B. 34
C. 35
D. 36
-
12. 已知x 和y 是正整数, 且满足约束条件
x + y ⩽10,
x −y ⩽2,
2x ⩾7,
则z = 2x + 3y 的
最小值是
(
) 5分
A. 24
B. 14
C. 13
D. 11.5
-
1. 某学校共有师生2400 人, 现用分层抽样的方法, 从所有师生中抽取一个容
量为160 的样本. 已知从学生中抽取的人数为150, 那么该学校的教师人
数是
. 5分
-
2. 设Sn 为等差数列{an} 的前n 项和, S4 = 14, S10 −S7 = 30, 则
S9 =
. 5分
-
3. 已知抛物线y2 = 4x, 过点P(4, 0) 的直线与抛物线相交于A(x1, y1),
B(x2, y2) 两点, 则y2
1 + y2
2 的最小值是
. 5分
-
4. 如图, 在正三棱柱ABC −A1B1C1 中, 所有棱长均为1, 则点B1 到平面
ABC1 的距离为
.
A
B
C
A1
B1
C1 5分
-
1. 设函数f(x) = 2x3 −3(a −1)x2 + 1, 其中a ⩾1.
(1) 求f(x) 的单调区间;
(2) 讨论f(x) 的极值.
-
2. 已知函数f(x) = A sin2(ωx+φ)
(
2
)
, 且y = f(x)
的最大值为2, 其图象相邻两对称轴间的距离为2, 并过点(1, 2).
(1) 求φ;
(2) 计算f(1) + f(2) + · · · + f(2008).
-
3. 盒中装有标有数字1, 2, 3, 4 的卡片各2 张, 从盒中任意抽取3 张, 每张卡
片被取出的可能性都相等, 求:
(1) 抽出的3 张卡片上最大的数字是4 的概率;
(2) 抽出的3 张中有2 张卡片上的数字是3 的概率;
(3) 抽出的3 张卡片上的数字互不相同的概率.
322
-
4. 如图, 已知四棱锥P −ABCD 的底面ABCD 为等腰梯形, AB
DC,
AC ⊥BD, AC 与BD 相交于点O, 且顶点P 在底面上的射影恰为O 点.
又BO = 2, PO =
√
2, PB ⊥PD.
(1) 求异面直线PD 与BC 所成角的余弦值;
(2) 求二面角P −AB −C 的大小;
(3) 设点M 在棱PC 上, 且PM
MC = λ, 问λ 为何值时, PC ⊥平面BMD.
B
C
D
A
P
O
-
5. 已知椭圆的中心在坐标原点O, 焦点在x 轴上, 椭圆的短轴端点和焦点所
组成的四边形为正方形, 两准线间的距离为4.
(1) 求椭圆的方程;
(2) 直线l 过点P(0, 2) 且与椭圆相交于A、B 两点, 当△AOB 面积取得
最大值时, 求直线l 的方程.
-
6. 已知数列{an} 中, a1 = 1
2. 点(n, 2an+1 −an) 在直线y = x 上, 其中
n = 1, 2, 3, · · · .
(1) 令bn = an+1 −an −1, 求证数列{bn} 是等比数列;
(2) 求数列{an} 的通项;
(3) 设Sn、Tn 分别为数列{an}、{bn} 的前n 项和. 是否存在实数λ, 使
得数列
{Sn + λTn
n
}
为等差数列? 若存在, 试求出λ; 若不存在, 则说明理
由.
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