2006年山东（理科）

本卷为官方高考数学真题（2006年山东（理科）），共 22 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 12 题）

1. 1. 定义集合运算: ( ) 5分
   A. ⊙B = {z | z = xy(x + y), x ∈A, y ∈B }, 设集合 A. = {0, 1}, B = {2, 3}, 则集合A ⊙B 的所有元素之和为 A. 0 B. 6 C. 12 D. 18
2. 2. 函数y = 1 + ax (0 < a < 1) 的反函数的图象大致是 ( ) (A) x y O 1 2 (B) x y O 1 (C) x y O 1 2 (D) x y O 1 5分
3. 3. 设f(x) = { 2ex−1, x < 2, log3(x2 −1), x ⩾2, 则不等式f(x) > 2 的解集为 ( ) √ 10, +∞) √ 10, +∞) 5分
   A. (1, 2) ∪(3, +∞) B. ( C. (1, 2) ∪( D. (1, 2)
4. 4. 在△ABC 中, 角A, B, C 的对边分别为a, b, c, 已知A = π 3 , a = √ 3, ( ) (C) √ 3 −1 (D) √ 3 5分
   B. = 1, 则c = A. 1 B. 2
5. 5. 设向量a = (1, −2), b = (−2, 4), c = (−1, −2), 若表示向量4a, 4b −2c, 2(a −c), d 的有向线段首尾相接能构成四边形, 则向量d 为 ( ) 5分
   A. (2, 6) B. (−2, 6) C. (2, −6) D. (−2, −6)
6. 6. 已知定义在R 上的奇函数f(x) 满足f(x + 2) = −f(x), 则f(6) 的值 为 ( ) 5分
   A. −1 B. 0 C. 1 D. 2
7. 7. 在给定椭圆中, 过焦点且垂直于长轴的弦长为 √ 2, 焦点到相应准线的距离 为1, 则该椭圆的离心率为 ( ) (A) √ 2 (B) √ 2 2 2 (D) √ 2 4 5分
   C. 1
8. 8. 设p: x2 −x −20 > 0, q: 1 −x2 |x| −2 < 0, 则p 是q 的 ( ) 5分
   A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
9. 9. 已知集合A = {5}, B = {1, 2}, C = {1, 3, 4}, 从这三个集合各取一个元 素构成空间直角坐标系中点的坐标, 则确定的不同点的个数为 ( ) 5分
   A. 33 B. 34 C. 35 D. 36
10. 10. 已知 ( x3 − i √x )n 的展开式中第三项与第五项的系数之比为−3 14, 其中 i2 = −1, 则展开式中常数项是 ( ) 5分
    A. −45i B. 45i C. −45 D. 45
11. 11. 某公司招收男职员x 名, 女职员y 名, x 和y 须满足约束条件        5x −11y ⩾−22, 2x + 3y ⩾9, 2x ⩽11, 则z = 10x + 10y 的最大值是 ( ) 5分
    A. 80 B. 85 C. 90 D. 95
12. 12. 如图, 在等腰梯形ABCD 中, AB = 2DC = 2, ∠DAB = 60◦, E 为AB 的中点, 将△ADE 与△BEC 分别沿ED、EC 向上折起, 使A、B 重合 于点P, 则三棱锥P −DCE 的外接球的体积为 ( ) C B A D E √ 3π 27 (B) √ 6π 2 (C) √ 6π 8 (D) √ 6π 24 5分
    A. 4

填空题（每题 5 分）（共 4 题）

1. 1. 若lim n→∞ 1 √n(√n + a −√n) = 1, 则常数a = . 5分
2. 2. 已知抛物线y2 = 4x, 过点P(4, 0) 的直线与抛物线相交于A(x1, y1), B(x2, y2) 两点, 则y2 1 + y2 2 的最小值是 . 5分
3. 3. 如图, 已知在正三棱柱ABC −A1B1C1 的所有棱长都相等, D 是A1C1 的 中点, 则直线AD 与平面B1DC 所成角的正弦值为 . C B A C1 B1 A1 D 5分
4. 4. 下列四个命题中, 真命题的序号有 . (写出所有真命题的序号) ①将函数y = |x + 1| 的图象按向量v = (−1, 0) 平移, 得到的图象对应的 函数表达式为y = |x|; ②圆x2 + y2 + 4x + 2y + 1 = 0 与直线y = 1 2x 相交, 所得弦长为2; ③若sin(α + β) = 1 2, sin(α −β) = 1 3, 则tan α cot β = 5; ④如图, 已知正方体ABCD −A1B1C1D1, P 为底面ABCD 内一动点, P 到平面AA1D1D 的距离与到直线CC1 的距离相等, 则P 点的轨迹是抛物 线的一部分. A B C D A1 B1 C1 D1 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 已知函数f(x) = A sin2(ωx+φ) ( 2 ) , 且y = f(x) 的最大值为2, 其图象相邻两对称轴间的距离为2, 并过点(1, 2). (1) 求φ; (2) 计算f(1) + f(2) + · · · + f(2008). 320
2. 2. 设函数f(x) = ax −(a + 1) ln(x + 1), 其中a ⩾−1, 求f(x) 的单调区间.
3. 3. 如图, 已知平面A1B1C1 平行于三棱锥V −ABC 的底面ABC, 等边 △AB1C 所在平面与底面ABC 垂直, 且∠ACB = 90◦, 设AC = 2a, BC = a. (1) 求证直线B1C1 是异面直线AB1 与A1C1 的公垂线; (2) 求点A 到平面V BC 的距离; (3) 求二面角A −V B −C 的大小. B C A C1 B1 A1 V
4. 4. 袋中装有标有数字1, 2, 3, 4, 5 的小球各2 个, 从袋中任取3 个小球, 按3 个小球上最大数字的9 倍计分, 每小球被取出的可能性都相等, 用ξ 表示 取出的3 个小球上的最大数字, 求: (1) 取出的3 个小球上的数字互不相同的概率; (2) 随机变量ξ 的概率分布和数学期望; (3) 计分介于20 分到40 分之间的概率.
5. 5. 双曲线C 与椭圆x2 8 + y2 4 = 1 有相同的焦点, 直线y = √ 3x 为C 的一条 渐近线. (1) 求双曲线C 的方程; (2) 过点P(0, 4) 的直线l, 交双曲线C 于A, B 两点, 交x 轴于Q 点(Q 点与C 的顶点不重合). 当# » PQ = λ1 # » QA = λ2 # » QB, 且λ1 + λ2 = −8 3 时, 求 Q 点的坐标.
6. 6. 已知a1 = 2, 点(an, an+1) 在函数f(x) = x2 + 2x 的图象上, 其中n = 1, 2, 3, · · · . (1) 证明数列{lg(1 + an)} 是等比数列; (2) 设Tn = (1 + a1)(1 + a2) · · · (1 + an), 求Tn 及数列{an} 的通项; (3) 记bn = 1 an + 1 an + 2, 求数列{bn} 数列的前n 项和Sn, 并证明 Sn + 2 3Tn −1 = 1. 321

原卷配图（含真实几何/应用题图示）