2006年广东

本卷为官方高考数学真题（2006年广东），共 20 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 10 题）

1. 1. 函数f(x) = 3x2 √1 −x + lg(3x + 1) 的定义域是 ( ) (A) ( −1 3, +∞ ) (B) ( −1 3, 1 ) (C) ( −1 3, 1 3 ) (D) ( −∞, −1 3 ) 5分
2. 2. 若复数z 满足方程z2 + 2 = 0, 则z3 = ( ) √ 2 √ 2 √ 2i √ 2i 5分
   A. ±2 B. −2 C. −2 D. ±2
3. 3. 下列函数中, 在其定义域内既是奇函数又是减函数的是 ( ) (1 2 )x , x ∈R 5分
   A. y = −x3, x ∈R B. y = sin x, x ∈R C. y = x, x ∈R D. y =
4. 4. 如图所示, D 是△ABC 的边AB 上的中点, 则向量# » CD = ( ) C B A D BC + 1 2 # » BA BC −1 2 # » BA BC −1 2 # » BA BC + 1 2 # » BA 5分
   A. −# » B. −# » C. # » D. # »
5. 5. 给出以下四个命题: ①如果一条直线和一个平面平行, 经过这条直线的一个平面和这个平面相 交, 那么这条直线和交线平行; ②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直, 那么这条直线垂直 于这个平面; ③如果两条直线都平行于一个平面, 那么这两条直线互相平行; ④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线, 那么这两个平面互相垂直. 其中真命题的个数是 ( ) 5分
   A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
6. 6. 已知某共有10 项, 其奇数项之和为15, 偶数项之和为30, 则其公差为( ) 5分
   A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
7. 7. 函数y = f(x) 的反函数y = f −1(x) 的图象与y 轴交于点P(0, 2) (如图所 示), 则方程f(x) = 0 在[1, 4] 上的根是x = ( ) x y 4 2 O −1 3 y = f −1(x) 5分
   A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
8. 8. 已知双曲线3x2 −y2 = 9, 则双曲线右支上的点P 到右焦点的距离与点P 到右准线的距离之比等于 ( ) (A) √ 2 √ 2 3 5分
   B. 2 C. 2 D. 4
9. 9. 在约束条件              x ⩾0, y ⩾0, x + y ⩽s, y + 2x ⩽4 下, 当3 ⩽s ⩽5 时, 目标函数z = 3x + 2y 的最 大值的变化范围是 ( ) 5分
   A. [6, 15] B. [7, 15] C. [6, 8] D. [7, 8]
10. 10. 对于任意的两个实数对(a, b) 和(c, d), 规定: (a, b) = (c, d), 当且仅当 (a, b) ⊕(c, d) = (a + c, b + d). 设p, q ∈R, 若(1, 2) ⊗(p, q) = (5, 0), 则 (1, 2) ⊕(p, q) = ( ) 5分
    A. = c, b = d; 运算“⊗”为: (a, b) ⊗(c, d) = (ac −bd, bc + ad); 运算“⊕”为: A. (4, 0) B. (2, 0) C. (0, 2) D. (0, −4)

填空题（每题 5 分）（共 4 题）

1. 1. lim x→−2 ( 4 4 −x2 − 1 2 + x ) = . 5分
2. 2. 棱长为3 的正方体的顶点都在同一球面上, 则该球的表面积为 . 5分
3. 3. 在 ( x −2 x )11 的展开式中, x5 的系数为 . 5分
4. 4. 在德国不莱梅举行的第48 届世乒赛期间, 某商店橱窗里用同样的乒乓球 堆成若干堆“正三棱锥”形的展品, 其中第1 堆只有1 层, 就一个球; 第2, 3, 4, · · · 堆最底层(第一层) 分别按图示方式固定摆放, 从第二层开始, 每 层的小球自然垒放在下一层之上, 第n 堆第n 层就放一个乒乓球, 以f(n) 表示第n 堆的乒乓球总数, 则f(3) = ; f(n) = . (答案用n 表 示) · · · 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 已知函数f(x) = sin x + sin ( x + π 2 ) , x ∈R. (1) 求f(x) 的最小正周期; (2) 求f(x) 的的最大值和最小值; (3) 若f(α) = 3 4, 求sin 2α 的值.
2. 2. 某运动员射击一次所得环数X 的分布列如下: X 0 ∼6 7 8 9 10 P 0 0.2 0.3 0.3 0.2 (1) 求该运动员两次都命中7 环的概率; (2) 求ξ 的分布列; (3) 求ξ 的数学期望Eξ.
3. 3. 如图所示, AF, DE 分别是⊙O, ⊙O1 的直径, AD 与两圆所在的平面均垂 直, AD = 8, BC 是⊙O 的直径, AB = AC = 6, OE AD. (1) 求二面角B −AD −F 的大小; (2) 求直线BD 与EF 所成的角. A F B C D E O O1 • 292
4. 4. 设函数f(x) = −x3 + 3x + 2 分别在x1, x2 处取得极小值、极大值, xOy 平面上点A, B 的坐标分别为(x1, f(x1)), (x2, f(x2)), 该平面上动点P 满 足# » PA · # » PB = 4, 点Q 是点P 关于直线y = 2(x −4) 的对称点, 求: (1) 求点A, B 的坐标; (2) 动点Q 的轨迹方程.
5. 5. 已知公比为q (0 < q < 1) 的无穷等比数列{an} 各项的和为9, 无穷等比 数列{a2 n} 各项的和为81 5 . (1) 求数列{an} 的首项a1 和公比q; (2) 对给定的k (k = 1, 2, 3, · · · , n), 设T (k) 是首项为ak, 公差为2ak −1 的等差数列, 求T (2) 的前10 项之和; (3) 设bi 为数列T (i) 的第i 项, Sn = b1 + b2 + · · · + bn, 求Sn, 并求正整 数m (m > 1), 使得lim n→∞ Sn nm 存在且不等于零.
6. 6. 意的x ∈[1, 2], 都有φ(2x) ∈(1, 2); ②存在常数L (0 < L < 1), 使得对任 意的x1, x2 ∈[1, 2], 都有|φ(2x1) −φ(2x2)| ⩽L|x1 −x2|. (1) 设φ(2x) = 3√1 + x, x ∈[2, 4] , 证明: φ(x) ∈A; (2) 设φ(x) ∈A, 如果存在x0 ∈(1, 2), 使得x0 = φ(2x0), 那么这样的x0 是唯一的; (3) 设φ(x) ∈A, 任取x1 ∈(1, 2), 令xn−1 = φ(2xn), n = 1, 2, · · · , 证明: 给定正整数k, 对任意的正整数p, 成立不等式|xk+p−xk| ⩽Lk−1 1 −L|x2−x1|. 293

原卷配图（含真实几何/应用题图示）