2006年江苏

本卷为官方高考数学真题（2006年江苏），共 21 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 10 题）

1. 1. 已知a ∈R, 函数f(x) = sin x −|a|, x ∈R 为奇函数, 则a = ( ) 5分
   A. 0 B. 1 C. −1 D. ±1
2. 2. 圆(x −1)2 + (y + √ 3)2 = 1 的切线方程中有一个是 ( ) 5分
   A. x −y = 0 B. x + y = 0 C. x = 0 D. y = 0
3. 3. 某人5 次上班途中所花的时间(单位: 分钟) 分别为x, y, 10, 11, 9. 已知 这组数据的平均数为10, 方差为2, 则|x −y| 的值为 ( ) 5分
   A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
4. 4. 为了得到函数y = 2 sin (x 3 + π 6 ) , x ∈R 的图象, 只需把函数y = 2 sin x, x ∈R 的图象上所有的点 ( ) 6 个单位长度, 再把所得各点的横坐标缩短到原来的1 3 倍 (纵坐标不变) 6 个单位长度, 再把所得各点的横坐标缩短到原来的1 3 倍 (纵坐标不变) 6 个单位长度, 再把所得各点的横坐标伸长到原来的3 倍 (纵坐标不变) 6 个单位长度, 再把所得各点的横坐标伸长到原来的3 倍 (纵坐标不变) 5分
   A. 向左平移π B. 向右平移π C. 向左平移π D. 向右平移π
5. 5. (√x −1 3x )10 的展开式中含x 的正整数指数幂的项数是 ( ) 5分
   A. 0 B. 2 C. 4 D. 6
6. 6. 已知两点M(−2, 0), N(2, 0), 点P 为坐标平面内的动点, 满足 # » MN  · # » MP  + # » MN · # » NP = 0, 则动点P(x, y) 的轨迹方程为 ( ) 5分
   A. y2 = 8x B. y2 = −8x C. y2 = 4x D. y2 = −4x
7. 7. 若A、B、C 为三个集合, A ∪B = B ∩C, 则一定有 ( ) 5分
   A. A ⊆C B. C ⊆A C. A̸ = C D. A̸ = ∅
8. 8. 设a、b、c 是互不相等的正数, 则下列不等式中不恒成立的是 ( ) a2 ⩾a + 1 a 1 5分
   A. |a −b| ⩽|a −c| + |b −c| B. a2 + 1 C. |a −b| + A. −b ⩾2 D. √a + 3 −√a + 1 ⩽√a + 2 −√a
9. 9. 两个相同的正四棱锥组成如图所示的几何体, 可放入棱长为1 的正方体内, 使正四棱锥的底面ABCD 与正方体的某一个平面平行, 且各顶点均在正 方体的面上, 则这样的几何体体积的可能值有 ( ) A B C D 5分
   A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 无穷多个
10. 10. 图中有一个信号源和五个接收器. 接收器与信号源在同一个串联线路中时, 就能接收到信号, 否则就不能接收到信号. 若将图中左端的六个接线点随 机地平均分成三组, 将右端的六个接线点也随机地平均分成三组, 再把所 有六组中每组的两个接线点用导线连接, 则这五个接收器能同时接收到信 号的概率是 ( ) 信号源 45 36 15 15 5分
    A. 4 B. 1 C. 4 D. 8

填空题（每题 5 分）（共 6 题）

1. 1. 在△ABC 中, 已知BC = 12, A = 60◦, B = 45◦, 则AC = . 5分
2. 2. 设变量x, y 满足约束条件        2x −y ⩽2, x −y ⩾−1, x + y ⩾1, 则z = 2x + 3y 的最大值 为 . 5分
3. 3. 今有2 个红球, 3 个黄球, 4 个白球, 同色球不加以区分, 将这9 个球排成 一列有种不同的方法 . (用数字作答) 5分
4. 4. cot 20◦cos 10◦+ √ 3 sin 10◦tan 70◦−2 cos 40◦= . 5分
5. 5. 对正整数n, 设曲线y = xn(1 −x) 在x = 2 处的切线与y 轴交点的纵坐 标为an, 则数列 { an n + 1 } 的前n 项和的公式是 . 5分
6. 6. 不等式log2 ( x + 1 x + 6 ) ⩽3 的解集为 . 5分

解答题（分值见原卷）（共 5 题）

1. 1. 已知三点P(5, 2)、F1(−6, 0)、F2(6, 0). (1) 求以F1、F2 为焦点且过点P 的椭圆的标准方程; (2) 设点P、F1、F2 关于直线y = x 的对称点分别为P ′、F1′、F2′, 求以 F1′、F2′ 为焦点且过点P ′ 的双曲线的标准方程.
2. 2. 请您设计一个帐篷. 它下部的形状是高为1 m 的正六棱柱, 上部的形状是 侧棱长为3 m 的正六棱锥(如图所示). 试问当帐篷的顶点O 到底面中心 O1 的距离为多少时, 帐篷的体积最大? O1 O • 302
3. 3. 在正三角形ABC 中, E、F、P 分别是AB、AC、BC 边上的点, 满足 AE : EB = CF : FA = CP : PB = 1 : 2 (如图1). 将△AEF 沿EF 折起到△A1EF 的位置, 使二面角A1 −EF −B 成直二面角, 连接A1B、 A1P (如图2). (1) 求证: A1E ⊥平面BEP; (2) 求直线A1E 与平面A1BP 所成角的大小; (3) 求二面角B −A1P −F 的大小. (用反三角函数表示) B C A 图1 E F P =⇒ B C P E F A1 图2
4. 4. 设a 为实数, 设函数f(x) = a √ 1 −x2 + √1 + x + √1 −x 的最大值为 g(a). (1) 设t = √1 + x + √1 −x, 求t 的取值范围, 并把f(x) 表示为t 的函数 m(t); (2) 求g(a); (3) 试求满足g(a) = g (1 a ) 的所有实数a.
5. 5. 设数列{an}, {bn}, {cn} 满足: bn = an−an+2, cn = an+2an+1+3an+2 (n = 1, 2, 3, · · · ), 证明: {an} 为等差数列的充分必要条件是{cn} 为等差数列 且bn ⩽bn+1 (n = 1, 2, 3, · · · ). 303

原卷配图（含真实几何/应用题图示）