本卷为官方高考数学真题（2006年江西（文科）），共 22 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。
-
1. 已知集合P = {x | x(x −1) ⩾0}, Q =
{
x
1
x −1 > 0
}
, 则P ∩Q 等
于
(
) 5分
A. ∅
B. {x | x ⩾1}
C. {x | x > 1}
D. {x | x ⩾1 或x < 0}
-
2. 函数y = 4 sin
(
2x + π
3
)
+ 1 的最小正周期为
(
)
2 5分
A. π
B. π
C. 2π
D. 4π
-
3. 在各项均不为零的等差数列{an} 中, 若an+1 −a2
n + an−1 = 0 (n ⩾2), 则
S2n−1 −4n =
(
) 5分
A. −2
B. 0
C. 1
D. 2
-
4. 下列四个条件中, p 是q 的必要不充分条件的是
(
)
c
x2 + b
x + a > 0 5分
A. p: a > b, q: a2 > b2
B. p: a > b, q: 2a > 2b
C. p: ax2 + by2 = c 为双曲线, q: ab < 0
D. p : ax2 + bx + c > 0, q:
-
5. 对于R 上可导的任意函数f(x), 若满足(x −1)f ′(x) ⩾0, 则必有
(
) 5分
A. f(0) + f(2) < 2f(1)
B. f(0) + f(2) ⩽2f(1)
C. f(0) + f(2) ⩾2f(1)
D. f(0) + f(2) > 2f(1)
-
6. 若不等式x2 + ax + 1 ⩾0 对一切x ∈
(
0, 1
2
]
成立, 则a 的最小值为(
)
2 5分
A. 0
B. −2
C. −5
D. −3
-
7. 在
(√x + 2
x
)n
的二项展开式中, 若常数项为60, 则n 等于
(
) 5分
A. 3
B. 6
C. 9
D. 12
-
8. 袋中有40 个小球, 其中红色球16 个、蓝色球12 个、白色球8 个、黄色
球4 个, 从中随机抽取10 个球作成一个样本, 则这个样本恰好是按分层抽
样方法得到的概率为
(
)
4C2
8C3
12C4
16
C10
40
4C1
8C3
12C4
16
C10
40
4C3
8C1
12C4
16
C10
40
4C3
8C4
12C2
16
C10
40 5分
A. C1
B. C2
C. C2
D. C1
-
9. 如果四棱锥的四条侧棱都相等, 就称它为“等腰四棱锥”, 四条侧棱称为它的
腰. 以下4 个命题中, 假命题的是
(
) 5分
A. 等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等
B. 等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补
C. 等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆
D. 等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上
-
10. 已知等差数列{an} 的前n 项和为Sn, 若# »
OB = a1 # »
OA + a200 # »
OC, 且A、
(
) 5分
B. C 三点共线(该直线不过点O), 则S200 等于
A. 100
B. 101
C. 200
D. 201
-
11. P 为双曲线x2
9 −y2
16 = 1 的右支上一点, M N 分别是圆(x + 5)2 + y2 = 4
和(x −5)2 + y2 = 1 上的点, 则|PM| −|PN| 的最大值为
(
) 5分
A. 6
B. 7
C. 8
D. 9
-
12. 某地一天内的气温Q(t) (单位:
◦C) 与时刻t (单位: 时) 之间的关系如图
所示, 令C(t) 表示时间段[0, t] 内的温差(即时间段[0, t] 内的最高气温与
最低气温的差). C(t) 与t 之间的函数关系用下列图象表示, 则正确的图象
大致是
(
)
12
8
16
4
24
20
t
Q(t)
4
−4
−2
−12
O
(A)
12
8
16
4
24
20
t
C(t)
4
16
O
(B)
12
8
16
4
24
20
t
C(t)
4
16
O
(C)
12
8
16
4
24
20
t
C(t)
4
16
O
(D)
12
8
16
4
24
20
t
C(t)
4
2
16
O 5分
-
1. 已知向量#»a = (1, sin θ), #»b = (1, cos θ), 则
#»a −#»b
的最大值为
. 5分
-
2. 设f(x) = log3(x+6) 的反函数为f −1(x), 若[f −1(m)+6]·[f −1(n)+6] = 27,
则f(m + n) =
. 5分
-
3. 如图, 已知正三棱柱ABC −A1B1C1 的底面边长为1, 高为8, 一质点自A
点出发, 沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A1 点的最短路线长为
.
A
B
C
A1
B1
C1 5分
-
4. 已知F1、F2 为双曲线x2
a2 −y2
b2 = 1 (a > 0, b > 0 且a̸ = b) 的两个焦点,
P 为双曲线右支上异于顶点的任意一点, 点O 为坐标原点. 下面四个命题:
①△PF1F2 的内切圆的圆心必在直线x = a 上;
②△PF1F2 的内切圆的圆心必在直线x = b 上;
③△PF1F2 的内切圆的圆心必在直线OP 上;
④△PF1F2 的内切圆必通过点(a, 0).
其中真命题的代号是
. (写出所有真命题的代号) 5分
-
1. 已知函数f(x) = x3 + ax2 + bx + c 在x = −2
3 与x = 1 时都取得极值.
(1) 求a、b 的值与函数f(x) 的单调区间;
(2) 若对x ∈[−1, 2], 不等式f(x) < c2 恒成立, 求c 的取值范围.
-
2. 某商场举行抽奖促销互动, 抽奖规则是: 从装有9 个白球、1 个红球的箱子
中每次随机地摸出一个球, 记下颜色后放回, 摸出一个红球可获得二等奖;
摸出两个红球可获得一等奖. 现有甲、乙两位顾客, 规定: 甲摸一次, 乙摸
两次. 求:
(1) 甲、乙两人都没有中奖的概率;
(2) 甲、两人中至少有一人获二等奖的概率.
306
-
3. 在锐角△ABC 中, 角A、B、C 所对的边分别为a、b、c, 已知sin A = 2
√
2
3 .
(1) 求tan2 B + C
2
+ sin2 A
2 的值;
(2) 若a = 2, S△ABC =
√
2, 求b 的值.
-
4. 如图, 已知三棱锥O −ABC 的侧棱OA、OB、OC 两两垂直, 且OA = 1,
OB = OC = 2, E 是OC 的中点.
(1) 求O 点到面ABC 的距离;
(2) 求异面直线BE 与AC 所成的角;
(3) 求二面角E −AB −C 的大小.
C
B
O
E
A
-
5. 如图, 椭圆Q: x2
a2 + y2
b2 = 1 (a > b > 0) 的右焦点为F(c, 0), 过点F 的一
动直线m 绕点F 转动, 并且交椭圆于A、B 两点, P 为线段AB 的中点.
(1) 求点P 的轨迹H 的方程;
(2) 在Q 的方程中, 令a2 = 1 + cos θ + sin θ, b2 = sin θ
(
0 < θ ⩽π
2
)
, 设
轨迹H 的最高点和最低点分别为M 和N. 当θ 为何值时, △MNF 为一
个正三角形?
•
y
x
F
B
A
O
P
D
l
m
-
6. 已知各项均为正数的数列{an} 满足: a1 = 3, 且2an+1 −an
2an −an+1
= anan+1,
n ∈N∗.
(1) 求数列{an} 的通项公式;
(2) 设Sn = a2
1 + a2
2 + · · · + a2
n, Tn = 1
a2
1
+ 1
a2
2
+ · · · + 1
a2
n
, 求Sn + Tn, 并确
定最小正整数n, 使Sn + Tn 为整数.
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