本卷为官方高考数学真题（2006年江西（理科）），共 4 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。
解答题（分值见原卷）（共 4 题）
-
1. 如图, 已知△ABC 是边长为1 的正三角形, M、N 分别是边AB、AC 上
的点, 线段MN 经过△ABC 的中心G. 设∠MGA = α
(π
3 ⩽α ⩽2π
3
)
.
(1) 试将△AGM、△AGN 的面积(分别记为S1 与S2) 表示为α 的函数;
(2) 求y =
1
S1
2 +
1
S2
2 的最大值与最小值.
C
B
A
D
M
N
G
α
-
2. 如图, 在三棱锥A−BCD 中, 侧面ABD、ACD 是全等的直角三角形, AD
是公共的斜边, 且AD =
√
3, BD = CD = 1, 另一个侧面ABC 是正三角
形.
(1) 求证: AD ⊥BC;
(2) 求二面角B −AC −D 的大小;
(3) 在直线AC 上是否存在一点E, 使ED 与面BCD 成30◦角? 若存在,
确定E 的位置; 若不存在, 说明理由.
B
C
D
A
-
3. 如图, 椭圆Q: x2
a2 + y2
b2 = 1 (a > b > 0) 的右焦点为F(c, 0), 过点F 的一
动直线m 绕点F 转动, 并且交椭圆于A、B 两点, P 为线段AB 的中点.
(1) 求点P 的轨迹H 的方程;
(2) 在Q 的方程中, 令a2 = 1 + cos θ + sin θ, b2 = sin θ
(
0 < θ ⩽π
2
)
, 确
定θ 的值, 使原点距椭圆的右准线l 最远, 此时, 设l 与x 轴交点为D, 当
直线m 绕点F 转动到什么位置时, 三角形ABD 的面积最大?
y
x
F
B
A
O
P
D
l
m
-
4. 已知数列{an} 满足: a1 = 3
2, 且an =
3nan−1
2an−1 + n −1 (n ⩾2, n ∈N∗).
(1) 求数列{an} 的通项公式;
(2) 证明: 对一切正整数n, 不等式a1 · a2 · · · · · an < 2 · n! 恒成立.
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原卷配图（含真实几何/应用题图示）
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