2006年湖北（文科）

本卷为官方高考数学真题（2006年湖北（文科）），共 21 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 10 题）

1. 1. 集合P = {x | x2 −16 < 0}, Q = {x | x = 2n, n ∈Z}, 则P ∩Q = ( ) 5分
   A. {−2, 2} B. {−2, 2, −4, 4} C. {−2, 0, 2} D. {−2, 2, 0, −4, 4}
2. 2. 已知非零向量#»a , #»b , 若#»a + 2#»b 与#»a −2#»b 互相垂直, 则|#»a | |#»b | = ( ) 4 2 5分
   A. 1 B. 4 C. 1 D. 2
3. 3. 已知sin 2α = 2 3, α ∈(0, π), 则sin α + cos α = ( ) (A) √ 15 3 √ 15 3 3 3 5分
   B. − C. 5 D. −5
4. 4. 在等比数列{an} 中, a1 = 1, a10 = 3, 则a2a3a4a5a6a7a8a9 = ( ) 5√ 27 (C) √ 3 5分
   A. 81 B. 27 D. 243
5. 5. 甲: A1、A2 是互斥事件; 乙: A1、A2 是对立事件. 那么 ( ) 5分
   A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲既不是乙的充分条件, 也不是乙的必要条件
6. 6. 关于直线m, n 与平面α, β, 有以下四个命题: ①若m α, n β 且α β, 则m n; ②若m ⊥α, n ⊥β 且α ⊥β, 则m ⊥n; ③若m ⊥α, n β 且α β, 则m ⊥n; ④若m α, n ⊥β 且α ⊥β, 则m n. 其中真命题的序号是 ( ) 5分
   A. ①② B. ③④ C. ①④ D. ②③
7. 7. 设f(x) = lg 2 + x 2 −x, 则f (x 2 ) + f (2 x ) 的定义域为 ( ) 5分
   A. (−4, 0) ∪(0, 4) B. (−4, −1) ∪(1, 4) C. (−2, −1) ∪(1, 2) D. (−4, −2) ∪(2, 4)
8. 8. 在 (√x − 1 3√x )24 的展开式中, x 的幂的指数是整数的项共有 ( ) 5分
   A. 3 项 B. 4 项 C. 5 项 D. 9 项
9. 9. 设过点P(x, y) 的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A, B 两点, 点Q 与点P 关于y 轴对称, O 为坐标原点, 若# » BP = 2# » PA 且 # » OQ · # » AB = 1, 则点P 的轨迹方程是 ( ) 2y2 = 1 (x > 0, y > 0) 2y2 = 1 (x > 0, y > 0) 2x2 −3y2 = 1 (x > 0, y > 0) 2x2 + 3y2 = 1 (x > 0, y > 0) 5分
   A. 3x2 + 3 B. 3x2 −3 C. 3 D. 3
10. 10. 关于x 的方程(x2 −1)2 −|x2 −1| + k = 0, 给出下列四个命题: ①存在实数k, 使得方程恰有2 个不同的实根; ②存在实数k, 使得方程恰有4 个不同的实根; ③存在实数k, 使得方程恰有5 个不同的实根; ④存在实数k, 使得方程恰有8 个不同的实根. 其中假命题的个数是 ( ) 5分
    A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

填空题（每题 5 分）（共 5 题）

1. 1. 在△ABC 中, 已知a = 4 √ 3 3 , b = 4, A = 30◦, 则sin B = . 5分
2. 2. 接种某疫苗后, 出现发热反应的概率为0.80, 现有5 人接种该疫苗, 至少有 3 人出现发热反应的概率为 . (精确到0.01) 5分
3. 3. 若直线y = kx + 2 与圆(x −2)2 + (y −3)2 = 1 有两个不同的交点, 则k 的取值范围是 . 5分
4. 4. 安排5 名歌手的演出顺序时, 要求某名歌手不第一个出场, 另一名歌手不 最后一个出场, 不同排法的总数是 . (用数字作答) 5分
5. 5. 半径为r 的圆的面积S(r) = πr2, 周长C(r) = 2πr, 若将r 看作(0, +∞) 上的变量, 则(πr2)′ = 2πr ①, ①式可以用语言叙述为: 圆的面积函数的导 数等于圆的周长函数. 对于半径为R 的球, 若将R 看作(0, +∞) 上的变 量, 请你写出类似于①的式子: ②, ②式可以用语言叙 述为: . 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 设向量#»a = (sin x, cos x), #»b = (cos x, cos x), x ∈R, 函数f(x) = #»a · (#»a + #»b ). (1) 求函数f(x) 的最大值与最小正周期; (2) 求使不等式f(x) ⩾3 2 成立的x 的取值集.
2. 2. 某单位最近组织了一次健身活动, 活动分为登山组和游泳组, 且每个职工 至多参加了其中一组. 在参加活动的职工中, 青年人占42.5%, 中年人占 47.5%, 老年人占10%. 登山组的职工占参加活动总人数的1 4, 且该组中, 青年人占50%, 中年人占40%, 老年人占10%. 为了了解各组不同年龄层 次的职工对本次活动的满意程度, 现用分层抽样的方法从参加活动的全体 职工中抽取一个容量为200 的样本. 试确定: (1) 游泳组中, 青年人、中年人、老年人分别所占的比例; (2) 游泳组中, 青年人、中年人、老年人分别应抽取的人数.
3. 3. 如图, 已知正三棱柱ABC −A1B1C1 的侧棱长和底面边长均为1, M 是底 面BC 边上的中点, N 是侧棱CC1 上的点, 且CN = 2C1N. (1) 求二面角B1 −AM −N 的平面角的余弦值; (2) 求点B1 到平面AMN 的距离. B C A M A1 B1 C1 N 296
4. 4. 设函数f(x) = x3 −ax2 + bx + c 在x = 1 处取得极值−2, 试用c 表示a 和b, 并求f(x) 的单调区间.
5. 5. 设数列{an} 的前n 项和为Sn, 点 ( n, Sn n ) (n ∈N∗) 均在函数y = 3x−2 的图像上. (1) 求数列{an} 的通项公式; (2) 设bn = 3 anan+1 , Tn 是数列{bn} 的前n 项和, 求使得Tn < m 20 对所 有n ∈N∗都成立的最小正整数m.
6. 6. 设A、B 分别为椭圆x2 a2 + y2 b2 = 1 (a, b > 0) 的左、右顶点, 椭圆长半轴 的长等于焦距, 且x = 4 为它的右准线. (1) 求椭圆的方程; (2) 设P 为右准线上不同于点(4, 0) 的任意一点, 若直线AP, BP 分别与 椭圆相交于异于A, B 的点M、N, 证明点B 在以MN 为直径的圆内. 297

原卷配图（含真实几何/应用题图示）